求曲线轨迹方程专题.doc
轨 迹 方 程 问 题 常见的有六种求轨迹方程的方法：待定系数法：由几何量确定轨迹方程；定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；“代入法”求轨迹方程；参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程“交轨法”求轨迹方程；1直接法求轨迹方程给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等求解程序：设动点P的坐标为P(x，y)；按题目的条件写出关系式；整合关系式；注明范围例1设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,，动点的轨迹为E求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为,，所以·，即 当m0时，方程表示两条直线：； 当时，方程表示的是圆：； 当m0且时，方程表示的是椭圆； 当m0时,方程表示的是双曲线2根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.PMN解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为设，则，同理，即，即这就是动点的轨迹方程注：动圆圆心轨迹问题动圆与两外离定圆均外切(含相交)；动圆过定点且定圆外切；动圆过定点且定直线相切；动圆与两定圆一个外切，一个内切；动圆过定点且定圆相切 3参数法求轨迹方程：例3动圆P过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）过A作直线交曲线C于两点，求弦的中点的轨迹方程； （3）在（2）中求的重心G的轨迹方程。解：(1)点P到点A的距离等于点P到直线y= -1的距离，故点P的轨迹C是以点A为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C的方程 x2=4y.另解：（2），设，则由，两式相减得 ，又，即.（3）设G（x,y）, 由（2）得，消去k得：为所求方程。 4“代入法”求轨迹方程：设点M是已知曲线F（x，y）0上的动点，点P因点M的运动而运动（即点P是点M的相关点），求点P的轨迹方程设点M的坐标为M（，），则F（，）0； 设点P的坐标为P（x，y）； 因为“点P随点M的运动而运动”，可以求得：f（x，y），g（x，y）；把f（x，y），g（x，y）代入F（，）0，即得所求点P的轨迹方程例4.已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程.解： (1) 由已知得,则直线的方程为:, 令得,即,设,则 ,即 ，代入得:,即的轨迹的方程为5“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y）0和动曲线G(x，y)0相交于点P，求点P的轨迹方程从理论上，其求解程序为：设动点P的坐标为：；解方程组，求交点即得到其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点例5已知椭圆1（ab0）的离心率为以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切（1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交于点P.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e又圆心（0，0）到直线yx2的距离d半径b，2，3 （2）（1，0）、（1，0），由题意可设P（1，t）（t0）.那么线段的中点为N（0，）的方程为：yt，设M()是所求轨迹上的任意点. 直线的斜率k，线段的中垂线MN的斜率所以：直线MN的方程为：yx由，消去参数t得：，即：，其轨迹为抛物线（除原点） 又解：由于（x，y），（x，y）·0，消参数t得：（x0），其轨迹为抛物线（除原点） 注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程 例6已知曲线：所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点若(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程解：(1)由题意得椭圆方程：1(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)，A()由设M(x，y)，由|MO|OA|(0)|MO|22|OA|2因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为yk，代入上式有：，由，当k0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为，（0）例7已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1） 求椭圆的方程； （2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，=，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a，c由已知得a4，c3.椭圆C的方程为 （2）设，其中。由已知及点在椭圆上可得,整理得，其中。 （i）时。化简得,所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。 （ii）时，方程变形为，其中, 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。 当时，点轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分 例8已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程解：由条件知，设，设，则，由的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是练习：1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 2.已知点F为抛物线的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ），如果M是线段的中点，则动点M的轨迹是( ).（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线4.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.5.已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.7
