全国初级中学数学竞赛辅导(初3)第18讲平面几何中的最值问答.doc

.第十八讲 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图391)？分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于ABCD，必有AC=BD若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可解 作DEAB于E，则x2=BD2=ABBE2R(R-y)2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60和120例2 如图392是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图393)？分析与解 因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P，连PA，PB，延长AP到C，使PC=BP，连CB，CC，则PCB=PBC=PCB=45，所以A，B，C，C四点共圆，所以CCA=CBA=90，所以在ACC中，ACAC，即PA+PBPA+PB例4 如图394，在直角ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是ABD，ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L求证：SABC2SAKL证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN因为在ABC中，A=90，ADBC于D，所以ABD=DAC，ADB=ADC=90因为M，N分别是ABD和ACD的内心，所以1=2=45，3=4，所以ADNBDM，又因为MDN=90=ADB，所以MDNBDA，所以 BAD=MND由于BAD=LCD，所以MND=LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以ALK=NDC=45同理，AKL=1=45，所以AK=AL因为AKMADM，所以 AK=AD=AL而而从而所以 SABCSAKL例5 如图395已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q求证：PQAB证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQP1Q1因为AQ1P1+P1Q1C=180，所以AQ1P1和P1Q1C中至少有一个直角或钝角若AQ1P190，则PQP1Q1AP1AB；若P1Q1C90，则PQP1Q1P1C同理，AP1C和BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP1C90，则P1CBC=AB对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB例6 设ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)解 如图396，延长BA到B，使AB=AB，连BC，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与BC相交以下分两种情况讨论(1)若l与BC相交于D，则所以只有当lBC时，取等号(2)若l与BC相交于D，则所以上式只有lBC时，等号成立例7 如图397已知直角AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D试求四边形ABCD面积的最小值解 设O与AB相切于E，有OE=1，从而即 AB2当AO=BO时，AB有最小值2从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为练习十八 1设M为圆O外一定点，P为圆O上一动点试求MP的最大值和最小值2设AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值3一直角三角形的周长为10厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？4已知l1l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求ABP周长的最小值5如果矩形ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？