全国大学生数学竞赛试题.解答及其评分规范标准(非数学类).doc

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（20092013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限.解 因为（2分）；原式(2分)；(2分)2.证明广义积分不是绝对收敛的解 记，只要证明发散即可。（2分）因为。（2分）而发散，故由比较判别法发散。（2分）3.设函数由确定，求的极值。解 方程两边对求导，得 （1分）故，令，得或（2分）将代入所给方程得，将代入所给方程得，（2分）又，故为极大值，为极小值。（3分） 4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。解 设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为（2分）；令，由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知，所求平面图形的面积，故A点的坐标为。（4分）二、（满分12）计算定积分解 （4分） （2分）（4分） （2分）三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。解 由于在处可导必连续，由得 （2分） （2分）由洛必塔法则及定义 （3分）所以 （2分）由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。（3分）四、（满分12分）设，证明解 因为，所以在上严格单调增，从而有反函数（2分）。设是的反函数，则 （3分）又，则，所以（3分） （2分）五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。解 记围成的立体为V，由高斯公式 （3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即取 ，曲面 （3分） 为求最小值，作变换，则，从而 （4分）使用球坐标计算，得 （4分）六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限解 作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向 （2分）而且（被积表达式没变，同样简单！）， （2分）曲线参数化，则有， （3分）令，则由于，从而。因此当时或时（2分） 而 （3分） 。故所求极限为 （2分）七（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。解 （1）记因为充分大时 （3分）所以，而收敛，故收敛（2分）（2）记 ，则= （2分）= （2分）= （2分）因为，所以，从而，故。因此。（也可由此用定义推知级数的收敛性）（3分）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。）（1）.求；解：方法一（用两个重要极限）：方法二（取对数）：（2）.求；解：方法一（用欧拉公式）令其中，表示时的无穷小量，方法二（用定积分的定义）（3）已知，求。解：二（本题10分）求方程的通解。解：设，则是一个全微分方程，设方法一：由得由得方法二：该曲线积分与路径无关三（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。证明：由极限的存在性：即，又，由洛比达法则得由极限的存在性得即，又，再次使用洛比达法则得由得是齐次线性方程组的解设，则，增广矩阵，则所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，且。四（本题17分）设，其中，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。解：设上任一点，令，则椭球面在上点M处的法向量为：在点M处的切平面为：原点到平面的距离为，令 则，现在求在条件，下的条件极值，令则由拉格朗日乘数法得：，解得或，对应此时的或此时的或又因为，则所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： ，五（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）；（2）解：（1）由题意得：椭球面S的方程为令则，切平面的法向量为，的方程为，原点到切平面的距离将一型曲面积分转化为二重积分得：记(2)方法一： 方法二（将一型曲面积分转化为二型）：记，取面向下，向外，由高斯公式得：，求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法： 先一后二：先二后一：广义极坐标代换：六（本题12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。证明：由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得，又得级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。七（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足，？请说明理由。解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得：介于0，x之间，使得，同理，当时，由拉格朗日中值定理得：介于x，2之间，使得即，显然，又由题意得即，不存在，又因为f(x)是在区间上的连续可微函数，即存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1计算_，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令，则， （*）令，则，2设是连续函数，且满足, 则_.解: 令，则，,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面 平行平面的切平面方程是。4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_.解: 方程的两边对求导，得因，故，即，因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解 :因故因此三、（15分）设函数连续，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知，因，故，因此，当时，故当时，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即 五、（10分）已知，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,.七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.解 ，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.解 令，则因当，时，故在上严格单调减。因此即，又，所以，当时, 与等价的无穷大量是。