人教高一数学指数函数讲义.doc

.第四节、指数函数一、初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；（一）指数与指数幂的运算1根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（>0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。思考：=一定成立吗？结论：当是奇数时，当是偶数时，例1、（1） （2）=2分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3有理指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）无理指数幂：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。例2、化简（1）（2）例3、已知函数,若则a=（ ）例4、已知（ ）二、指数函数及其性质（一）指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。注意：（1）指数函数中的系数为1； （2）底数是大于0且不等于1的常数。 （3）指数就是自变量x，是变量。例5、函数为指数函数，求的取值范围。（二）指数函数的图象和性质研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性1在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）（2） （3）（4）（5）2从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？3从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？总结：（1）指数函数对于，函数增减性完全相反，因而在做题时，千万不要忘记分类讨论的思想； （2）指数函数恒过（0,1）点； （3）对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在y轴右侧，图像从上到下，相应的底数由大变小，而在y轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。所以指数函数的值按逆时针的方向变大。 （4）函数关于y轴对称。 例6、a,b,c,d是不等于1的实数，右图为分别以a、b、c、d为底的指数函数的图像，则a、b、c、d四个数的大小关系为（ ） A、B、C、D、例7、（1）函数恒过定点P，则P点的坐标是（ ） （2）函数（）的图像恒过点A，下列函数图象不过点A的是（ ）A、 B、C、 D、例8、比较指数的大小（五三：p27） 画图比较： （1）比较和的大小 比较的大小 比较的大小对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幂比较大小，则可以通过一些中间值来比较。（2） 设，则的大小关系为（ ）（3）已知，试比较a，b，c的大小。（三）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；例9、已知实数满足等式，下列五个关系式中（1）；（2） ；（3）a<b<0；（4）；（5）；其中不可能成立的是（ ）A、1个 B、2个C、3个 D、4个例10、（1）解不等式 （2）求的单调区间。 （3）求的单调区间。 （4）求的单调区间。与指数函数有关的复合函数问题。例11、求函数的单调区间。