浅谈导数在高中数学解题中的应用.doc

浅谈导数在高中数学解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义下面举例探讨导数的应用（一）利用导数解决函数问题利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了例1 设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式解： 因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，从而，又函数在处取得极值，所以解得，所以所求函数解析式为2.利用导数求函数的最（极）值：求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：(1) 求函数在上的极值点；(2) 计算在极值点和端点的函数值；(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值例2 求函数在上的最大值和最小值解 ：由于，则当或时，所以，为函数的单调增区间；当时，所以为函数的单调减区间又因为，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值3.利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减此方法简单快捷而且适用面广例3 求的单调区间解 显然，定义域为，又，由，得或；又由，得或，所以的增区间为和，减区间为和（二）利用导数解决切线问题求过某一点的切线方程。此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错例4 求曲线在原点处的切线方程解 显然点不在曲线上，由于，则设切点坐标为，所以，则过点的切线方程为因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为，即求两曲线切线方程。例5已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程解 由，得，所以曲线在点的切线方程是，即 (1)由，得，所以曲线在点的切线方程是，即(2)若是过与的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以消去，得，由题意知，所以，则，即点与重合，此时曲线和有且仅有一条公切线，且公切线方程为（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题例6 求证：不等式在上成立证明 构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立又构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立综上所述，原命题成立（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便例7.若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）解：设到的距离为，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. （0，）+-