反函数学习知识重点情况总结讲义教案.doc
.班级：一对一所授年级+科目： 高一数学授课教师： 课次：第 次学生： 上课时间：教学目标理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系反函数知识点总结教案【知识整理】一函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量和,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,那么就是的函数， 就叫做自变量， 的取值范围D称为函数的定义域，和的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的值域，记为： D. 二反函数定义一般地，函数 (D),设它的值域为A,我们根据这个函数中, 的关系，用把表示出，得到 ,如果对于 在 A中的任何一个值，通过 , 在D中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数 （A)叫做函数 ( D)的反函数.记作：反函数中，为因变量，为自变量，为和习惯一致，将, 互换得： ( xA).注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三主要方法：1求反函数的方法步骤：求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；由反解出 (把用 表示出来)；将, 互换得： ，并写出反函数的 定义域2 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.3 原函数与反函数的联系反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，；函数反函数定义域DA值 域AD4. 互为反函数的函数图象间的关系 一般地，函数的图像和它的反函数的图像关于直线=对称，其增减性相同.释意：如果点(a,b)在函数的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数的图像上。换言之，如果函数的图像上有点(a,b)，那么它的反函数的图像上必然有点(b,a).1求下列函数的反函数：（1）； （2）.解：（1）由得，所求函数的反函数为（2）当时，得，当时，得，所求函数的反函数为2函数的图象关于对称，求的值解：由得，由题知：，3若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值解：既在的图象上，又在它反函数图象上，4设函数，又函数与的图象关于对称，求的值解法一：由得，与互为反函数，由，得解法二：由得，5已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足6已知，是上的奇函数（1）求的值；（2）求的反函数； （3）对任意的解不等式解：（1）由题知，得，此时，即为奇函数（2），得，（3），当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集7.已知函数的反函数，（）若，求的取值范围；（）设函数，当时，求的值域.解：， （） 即 ， 解之得 （） 令 ，显然在0，1递增，则有，即的值域为8. 已知函数在其定义域内是减函数，且存在反函数，求证：的反函数在它的定义域内也是减函数（是的值域）证明：在其定义域内是减函数，设，且，有令，有，且函数在上存在反函数，由题意，且，在定义域内是减函数9.已知函数（1）求的反函数；（2）判定在其定义域内的单调性；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由y=（）2，得x=. 又y=（1）2，且x1，0y1 f1（x）=（0x1）.（2）设0x1x21，则0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20对x，恒成立.显然a1.令t=，x，t，.则g（t）=（1+a）t+1a20对t，恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是关于t的一次函数，g（）0且g（）0，即解得1a【反馈练习】1函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是（D）A、B、C、D、2函数的反函数是（ A ）ABCD3若函数是函数的反函数，则的图象为 （ B ） A B C D4若函数的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数的图象经过(B) （A） 第一、二象限（B） 第二、三象限 （C）第三、四象限（） 第一、四象限5设，函数的反函数和的反函数的图象关于 （ B ）轴对称 轴对称 轴对称 原点对称6已知函数，则的反函数为 ( B)（A）（B）（C）（D）u 7设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（A） A、 B、 C、 D、解:时，单调增函数，所以。u 8设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ C ）A.0，+） B.（，0 C.0，2） D.（2，0解：f（4x2）=log2（4x2）, x（2，0时，4x2单调递增；x0，2）时，4x2单调递减.9已知函数的图象过点（，），又其反函数的图象经过点（，），则的表达式为_. =10关于反函数有下列命题：二次函数一定有反函数；反比例函数一定有反函数；若函数与其反函数有公共点，则该点一定在直线上；单调函数在其单调区间上一定有反函数以上命题，正确的命题的序号是_.11已知函数的反函数就是它本身，那么_ . -3 12若函数存在反函数，且方程、方程分别有唯一实根、，则=_。（a为常数）u 13已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_解：当x0时，x0，f（x）=.又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），即f（x）=.f（x）=f（x）= f1（x）=f1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.14求函数的反函数：.解：由得，所求反函数为15设函数，又函数与的图象关于对称，求的值.解法一：由得，与互为反函数，由，得解法二：由得，u 16求函数的值域(掌握利用反函数法求函数值域)解： 函数的值域为17解：由故所求的反函数是1设，函数的反函数和的反函数的图象关于( )轴对称 轴对称 轴对称 原点对称2已知函数，则的图象只可能是 （ ） 3若函数的图象上经过点，则函数的反函数的图象上必经过点（C） 4已知函数有反函数，则方程（为常数）（B）有且只有一个实根 至多有一个实根至少有一个实根 实根的个数无法确定5函数（）的反函数是（ C）A（）B（）C（） D（）6设函数，则的定义域是（ D ）ABCD7若与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则 8若函数有反函数,则实数的取值范围是_且.9设，则 10求函数的反函数解：当时，则反函数为（）；当时，则反函数为（），原函数的反函数为:11求下列函数的值域；（1）；（2）解：（1）先由可得，故原函数的值域（2）先由可得，故原函数的值域为说明：通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，往往适用于函数的解析式为一次分式的情况12已知函数，且函数具有反函数，求常数的取值范围设是满足上述条件的的最大值，当时，求的反函数解：二次函数对称轴为，函数具有反函数，解得常数的取值范围为令，的反函数为13若，且的图象与的图象关于直线对称为g(x)，求的值解：令，得，的图象与的图象关于直线对称，14已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数解：由求出反函数（），则（）（）虽然与两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同15设是上的增函数，并且对任意，有成立，证明解：若存在，有，不妨设，则，即矛盾，同理可证也不可能有，对一切有教案审核：
