北师大版九年级数学上册第一二章导学案.doc

,.1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系2体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力(重难点)阅读教材P24，完成下列问题：(一)知识探究1有一组_的平行四边形叫做菱形2菱形具有_的一切性质3菱形是_图形，它的_就是它的对称轴它有_对称轴，两条对称轴互相垂直4菱形的四条边都相等5菱形的两条对角线_，并且每一条对角线平分一组_(二)自学反馈如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形？活动1小组讨论例1已知：如图，在菱形ABCD中，ABAD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)ABBCCDAD；(2)ACBD.例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD60，BD6，求菱形的边长AB和对角线AC的长此题由菱形的性质可知ABAD，结合BAD60，即可得到ABD是等边三角形，从而可求AB的长度再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC.活动2跟踪训练1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是() AABDC BACBD CACBD DOAOC2如图，在菱形ABCD中，AC6，BD8，则菱形的边长为() A5 B10 C6 D83已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为() A3 cm2 B4 cm2 C. cm2 D2 cm24如图，在菱形ABCD中，AB5，BCD120，则对角线AC等于_5点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，找出图中一对全等三角形为_6如图所示，在菱形ABCD中，ABC60，DEAC交BC的延长线于点E.求证：DEBE.活动3课堂小结1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的四条边相等3菱形的对角线互相垂直第2课时菱形的判定1理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法(重点)2会用这些判定方法进行有关的论证和计算(难点)阅读教材P57，完成下列问题(一)知识探究1有一组_的平行四边形是菱形2对角线_的平行四边形是菱形3_的四边形是菱形(二)自学反馈判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；()(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；()(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；()(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形()活动1小组讨论例1 已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形例2已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB，OA2，OB1.求证：ABCD是菱形活动2跟踪训练1如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的是() AABBC BACBD CBD平分ABC DACBD2如图，已知DEAC、DFAB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是() AAD平分BAC BABAC，且BDCD CAD为中线 DEFAD3将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形() A三角形 B不规则的四边形 C菱形 D一般平行四边形4如图所示，在ABCD中，ACBD，E为AB中点，若OE3，则ABCD的周长是_5如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是E、F，并且DEDF.求证：(1)ADECDF；(2)四边形ABCD是菱形6.如图， 在ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE/AB交MN于E，连结AE、CD请判断四边形ADCE的形状，说明理由 活动3课堂小结菱形常用的判定方法：1有一组邻边相等的平行四边形是菱形2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3有四条边相等的四边形是菱形3课时菱形的性质与判定的运用1能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法(重难点)2经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法阅读教材P89，能灵活运用菱形的性质及判定自学反馈如图所示：在菱形ABCD中，AB6.(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若ADC120，求AC的长；(4)求菱形ABCD的面积活动1小组讨论例如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积活动2跟踪训练1菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则ABC_，AC_cm.2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC4 cm，BD8 cm，则这个菱形的面积是_cm2.3如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形活动3课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系2理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明(重点)3会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力(难点)(一)知识探究1有_的平行四边形叫做矩形2生活中你见到过的矩形有_、_.3矩形是_的平行四边形，具有平行四边形的_性质4矩形的_都是直角5矩形的对角线_6直角三角形斜边上的中线等于斜边的_(二)自学反馈1矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？2请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“”，若“有病”请开药方：(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角()(2)平行四边形是矩形()(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有()3已知ABC是直角三角形，ABC90，BD是斜边AC上的中线若BD3 cm，则AC_cm.活动1小组讨论例1在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AOD120，AB2.5 cm，求矩形对角线的长活动2跟踪训练1矩形具有一般平行四边形不具有的性质是() A对边相互平行 B对角线相等 C对角线相互平分 D对角相等2如果矩形的两条对角线所成的钝角是120，那么对角线与矩形短边的长度之比为() A32 B21 C1.51 D113如图，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是() A8 B6 C4 D24如图，在RtABC中，ACB90，D、E为AB、AC的中点则下列结论中错误的是() ACDAD BBBCD CAED90 DAC2DE5在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为_6矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60，则矩形的宽为_cm.7如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE，垂足为F.求证：DFDC.8.如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AECF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BEBF，BEF2BAC.（1）求证：OEOF；（2）若BC，求AB的长.活动3课堂小结1有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第2课时矩形的判定能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力(重难点)阅读教材P1416，完成下列问题：(一)知识探究1对角线_的平行四边形是矩形2有三个角是_的四边形是矩形(二)自学反馈1能够判断一个四边形是矩形的条件是() A对角线相等 B对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等2矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长_cm.3如图，直线EFMN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、NCA、FAC的平分线(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？(2)ABC、BCD、CDA、DAB各等于多少度？(3)四边形ABCD是() A菱形 B平行四边形 C矩形 D不能确定(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？活动1小组讨论例1如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB4.求ABCD的面积活动2跟踪训练1下列说法错误的是() A有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C对角线相等的平行四边形是矩形 D有两个角是直角的四边形是矩形2如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是() AABCD BADBC CABBC DACBD3如图，在四边形ABCD中，已知ABDC，ABDC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_(填上你认为正确的一个答案即可)4直角AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为_5如图，在ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F.求证：(1)ADECBF；(2) 四边形BFDE为矩形6. 如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求的度数.7. 如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，连接，已知的周长为24 cm，求矩形的周长？活动3课堂小结矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形2对角线相等的平行四边形是矩形3有三个角是直角的四边形是矩形第3课时矩形的性质与判定的运用能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论(重难点)阅读教材P1618，完成下列问题：自学反馈1如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AOD120，AB2.5 cm，则DAO_，AC_cm，S矩形ABCD_.2如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件_，可使它成为矩形活动1小组讨论例1 在矩形ABCD中，AD6，对角线AC与BD交于点O，AEBD，垂足为E，ED3BE.求AE的长例2如图，在ABC中，ABAC，AD为BAC的平分线，AN为ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形活动2跟踪训练1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是() AABC90 BACBD COAOB DOAAD2如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为() A10 cm B8 cm C6 cm D5 cm3如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() AABBE BDEDC CADB90 DCEDE4在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB60，AC10，则AB_.5在四边形ABCD中，ABDC，C90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是_(写出一种情况即可)6如图，ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证：AOECOF；(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由7.如图，在RtABC中，A = 90，AB = AC，D是斜边BC上的一点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F. （1）求证：四边形AEDF是矩形；（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并证明你的结论. 8.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又于点F，证明：EC=EF.活动3课堂小结1说说你的收获2说说你的困惑3说说你的方法1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算(重难点)2进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力阅读教材P2021，完成下列问题：(一)知识探究1有_相等并且有一个角是_的_叫做正方形2正方形既是_又是_，它既具有_的性质，又有_的性质3正方形的_相等，都是_，_相等4正方形的对角线_(二)自学反馈正方形的性质：1边：_都相等且_2角：四个角都是_3对角线：两条对角线互相_且_，并且每一条对角线平分_4正方形既是_图形，又是_图形，正方形有_对称轴活动1小组讨论例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CECF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由活动2跟踪训练1菱形，矩形，正方形都具有的性质是() A对角线相等且互相平分 B对角线相等且互相垂直平分 C对角线互相平分 D四条边相等，四个角相等2正方形面积为36，则对角线的长为() A6 B6 C9 D93如图，菱形ABCD中，B60，AB4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为() A14 B15 C16 D174如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CEAC，连接AE交CD于F，则AFC_.5如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OCFOBE.求证：OEOF.6.如图，正方形ABCD中，过D做DEAC，ACE =，CE交AD于点F，求证：AE = AF；7.如图，在ABC中，BAC =，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求证：四边形AEFG是菱形；活动3课堂小结第2课时正方形的判定1掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题(重难点)2发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断阅读教材P2224，完成下列问题：(一)知识探究1对角线相等的_是正方形2对角线垂直的_是正方形3有一个是直角的_是正方形(二)自学反馈1已知四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是() AD90 BABCD CADBC DBCCD2下列命题正确的是() A两条对角线相等的菱形是正方形 B对角线与一边的夹角是45的四边形是正方形 C两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形 D对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() AACBD，ABCD，ABCD BADBC，AC CAOBOCODO，ACBD DAOCO，BODO，ABBC4如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是_形活动1小组讨论例 如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC，CE平分DCB，BFCE，CFBE.求证：四边形BECF是正方形活动2跟踪训练1 如图，在ABC中，ABC90，BD平分ABC，DEBC，DFAB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形2 如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AEBFCGDH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论3如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形4.如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM. w W w . x K b 1.c o M（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长.活动3课堂小结1对角线相等的菱形是正方形2对角线垂直的矩形是正方形3有一个角是直角的菱形是正方形 2.1一元二次方程（1）问题1：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题2：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？做一做（根据题意列出方程）1.一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2.一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。3.一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，归纳出一元二次方程的定义。归纳：（1）只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。例1判断下列方程是否为一元二次方程。 例2将下列方程化为一元二次方程一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.例3要使是一元二次方程，求k例4已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。例5已知关于x的方程。问：（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？2.1一元二次方程（2）在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：，即：；，即：。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？完成下表：x00.511.522.52x2-13x+11你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程，把这个方程化为一般形式为（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?（3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?（4）x的整数部分是几?十分位是几?【例1】观察，估计x2+12x-15=0的解可能的范围： x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76归纳小结：根据实际问题确定其解的大致范围，在一定范围内均匀的取一些x的值，将这些值分别代入中，哪两个值最接近0，方程的解就在这两个值对应的两个x值之间。课内练习:1、有一个根为-2的一元二次方程是（ ）A、 B、 C、 D、2、（1）已知一元二次方程的一个根为-3，则 . （2）已知关于的方程的一个根为，则 .3根据下列表格中代数式与的对应值，判断方程的一个根的大致范围是( )6.176.186.196.20-0.03-0.010.020.06A6< x <6.17 B6.17< x <6.18 C6.18< x <6.19 D6.19< x <6.2022一元二次方程的解法（1） 一、知识回顾1.（1）平方根：如果x2=a，那么 叫做 的平方根（2）.一个正数有 个平方根，它们互为 ； 0的平方根是 ；负数 。2.（1）9的平方根是 ；144的平方根是 。 （2）若x2=9，则x= 。 （3）若（x-1）2=9，则x= 。3.完全平方公式：（ab）2= 。4.（1）（x+5）2= ；（x-7）2= ； （2x+3）2= ；（3x-1）2= （2）x2+ x+36=（x+6）2 ； x2- x+81=（x-9）2 x2+8x+ =（x+ ）2 ； x2-4x+ =（x- ）2 x2+3x+ =（x+ ）；二、新课学习1.试一试 解下列方程，并说明你所用的方法.（1）x24； （2）x210;形如: 的方程，我们可以用直接开平方法来解例1用直接开平方法解下列方程：（1） （2） （3）2(x-3)2-4=0 例2 解方程 （1） x2+8x-9=0 （2）x2+4x+1=0例3解下列方程：（1）x220; （2）16x2250.解（1）移项，得x22. (2) 移项，得_.直接开平方，得. 方程两边都除以16，得_所以原方程的解是 直接开平方，得x_.上面，我们把方程x24x30变形为(x2)21，它的左边是一个含有未知数的_式，右边是一个_常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x26x（ ）（x ）2；（2）x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)_(2)_例1用配方法解下列方程：（1）x26x70；（2）x23x10.解（1）移项，得x26x_.方程左边配方，得x22x3_27_，即：（_）2_.所以 x3_.原方程的解是x1_，x2_.（2）移项，得x23x1.方程左边配方，得x23x（ ）21_，即 ： _所以 _原方程的解是： x1_x2_练习1用配方法解下列方程： （1） （2）x2+12x+25=0 (3) x2+4x=10; （4） x2-9x+19=0 (5)x2-10x+25=7 ; （6）x2+3x=122用公式法解简单系数的一元二次方程（2）一、复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2bxc0(a0).推导公式用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0).因为a0，方程两边都除以a，得_0.移项，得 x2x_，配方，得 x2x_,即 ： (_) 2_因为 a0，所以4 a20，当b24 ac0时，直接开平方，得 _.所以 x_即 ： x_由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：x( b24 ac0)利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.例1应用公式法解下列方程:(1) 2 x2x60； (2) x24x2；(3) 5x24x120； (4) 4x24x1018x.解(1)这里a_，b_，c_，b24ac_ _所以x_即原方程的解是 x1_，x2_(2)将方程化为一般式，得_0.因为 b24ac_所以x_原方程的解是 x1_，x2_(3)因为 _，所以 x_原方程的解是 x1_，x2_.(4)整理，得_0.因为 b24ac_，所以 x1x2_归纳： 当b24ac0时，方程有_个_的实数根；（填相等或不相等） 当b24ac0时，方程有_个_的实数根x1x2_ 当b24ac0时，方程_实数根.练习1用公式法解方程：(1) x26x10； (2)2x2x6；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).（5）（x-2）（x+5）8； （6）（x1）22（x1）.23一元二次方程根的判别式一、复习引入一元二次方程ax2bxc0（a0）只有当系数a、b、c满足条件b24ac_0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：（1）当b24ac0时，方程有_个_的实数根；（填相等或不相等）（2）当b24ac0时，方程有_个_的实数根x1x2_（3）当b24ac0时，方程_实数根.这里b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2x10，可由b24ac_0直接判断它_实数根.例1不解方程，判断方程根的情况。（1）x22x80； （2）3x24x1；（3）x（3x2）6x20； （4）x2(1)x0；（5） x（x8）16；