2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.10　导数的概念及运算 .docx

2.10导数的概念及运算 知识梳理1变化率与导数(1)平均变化率 (2)导数2导数的运算诊断自测1概念思辨(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A11P74思考)若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4xC42x D42(x)2答案C解析y(1y)1f(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.故选C.(2)(选修A11P85T7)f(x)cosx在处的切线的倾斜角为_答案解析f(x)(cosx)sinx，f1，tan1，所以.3小题热身(1)(2017湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1 B1 C2 D2答案A解析f(x1)，故f(x)，即f(x)2，对f(x)求导得f(x)，则f(1)1，故所求切线的斜率为1.故选A.(2)(2017太原模拟)函数f(x)xex的图象在点(1，f(1)处的切线方程是_答案y2exe解析f(x)xex，f(1)e，f(x)exxex，f(1)2e，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.题型1导数的定义及应用 已知函数f(x)1，则 的值为()A B. C. D0用定义法答案A解析由导数定义， f(1)，而f(1).故选A.已知f(2)2，f(2)3，则 1的值为()A1 B2 C3 D4用定义法答案C解析令x2x，x2x，则原式变为 1f(2)13.故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是x，也可以是2x，解题时要将分子、分母中的增量统一2导数定义 f(x0)等价于 f(x0)3求函数yf(x)在xx0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数y在x1处的导数解记f(x)，则yf(1x)f(1)1， .y|x1.题型2导数的计算求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)y；(3)ysin.解(1)解法一：y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以y3x212x11.解法二：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.方法技巧导数计算的原则和方法1原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，见典例(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导，见典例(2)；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导，见典例(3)冲关针对训练1(2017温州月考)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1 C1 De答案B解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.故选B.2求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)ycos.解(1)y1xx，y(x)(x)xx.(2)ycossin2x2sinxcosx.y2cos2x2sin2x2(cos2xsin2x)2cos2x.题型3曲线的切线问题角度1求曲线的切线方程(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_已知切点(x0，y0)求导数f(x0)k即可答案xy10解析y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.角度2求切点坐标(多维探究)(2017石家庄模拟)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_利用方程思想方法答案(e，e)解析设P(x0，y0)，则yxln x的导函数yln x1，由题意ln x012，解得x0e，易求y0e.条件探究试求典例中曲线yxln x上与直线yx平行的切线方程解设切点为(x0，y0)，因为yln x1，所以切线的斜率kln x01，由题意知k1，得x0，y0，故所求的切线方程为y，即e2xe2y10.角度3与切线有关的参数问题(2015 全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.利用方程思想答案8解析解法一：令f(x)xln x，求导得f(x)1，f(1)2，又f(1)1，所以曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.设直线y2x1与曲线yax2(a2)x1的切点为P(x0，y0)，则y|xx02ax0a22，得a(2x01)0，a0或x0，又ax(a2)x012x01，即axax020，当a0时，显然不满足此方程，x0，此时a8.解法二：令f(x)xln x，对f(x)xln x求导得f(x)1，f(1)2，所以曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y2x1.将y2x1代入yax2(a2)x1，得ax2ax20，由题意得a28a0，得a8(a0舍去)方法技巧与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略1求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.2已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标3根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解提醒：求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点冲关针对训练1(2017陕西五校联考)已知直线yxm是曲线yx23ln x的一条切线，则m的值为()A0 B2 C1 D3答案B解析因为直线yxm是曲线yx23ln x的切线，所以令y2x1，得x1或x(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线yxm上，所以m2.故选B.2已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程解(1)yx2，ky|x24，曲线在点P(2,4)处的切线方程为4xy40.(2)设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A，则ky|xx0x.切线方程为yxxx.又P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40.xx4x40，(x01)(x02)20，x01，x02.故所求切线为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则kx1，x01，故切点为，(1,1)，所求切线方程为3x3y20和xy20.题型4导数的几何意义的应用 (2017资阳期末)若对x0，)，不等式2axex1恒成立，则实数a的最大值是()A. B. C1 D2数形结合法答案A解析对x0，)，不等式2axex1恒成立，设y2ax，yex1，其中x0；在同一坐标系中画出函数y2ax和yex1的图象如图所示；则yex，令x0，得ke01；曲线yex1过点O(0,0)的切线斜率为k1；根据题意得2a1，解得a，a的最大值为.故选A.已知函数f(x)x3x2，数列xn(xn>0)的各项满足：曲线yf(x)在(xn1，f(xn1)处的切线与经过(0,0)和(xn，f(xn)两点的直线平行求证：当nN*时，xxn3x2xn1.导数法证明yf(x)在(xn1，f(xn1)处的切线斜率为f(xn1)3x2xn1，经过(0,0)，(xn，f(xn)的直线斜率为xxn.xxn3x2xn1.方法技巧此类问题注意导数与切线斜率的对应关系kf(x0)，同时应用数形结合思想冲关针对训练1P为曲线yln x上的一动点，Q为直线yx1上的一动点，则|PQ|最小值()A0 B. C. D2答案C解析直线与yln x相切且与yx1平行时，切点P到直线yx1的距离|PQ|最小，(ln x)，令1得x1，故P(1,0)，所以|PQ|min.故选C.2如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x答案A解析由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为yx，在(2,0)处的切线方程为y3x6.以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足故选A.1(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysinx Byln x Cyex Dyx3答案A解析设函数yf(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1x2，则由题意知只需函数yf(x)满足f(x1)f(x2)1即可yf(x)sinx的导函数为f(x)cosx，则f(0)f()1，故函数ysinx具有T性质；yf(x)ln x的导函数为f(x)，则f(x1)f(x2)>0，故函数yln x不具有T性质；yf(x)ex的导函数为f(x)ex，则f(x1)f(x2)ex1x2>0，故函数yex不具有T性质；yf(x)x3的导函数为f(x)3x2，则f(x1)f(x2)9xx0，故函数yx3不具有T性质故选A.2(2018河南洛阳统考)曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则实数a()A1 B1 C7 D7答案C解析f(x)，f(1)tan1，1，a7.故选C.3(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.答案1解析由题意可得f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，又此切线过点(2,7)，7(a2)(3a1)(21)，解得a1.4(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1曲线ylg x在x1处的切线的斜率是()A. Bln 10 Cln e D.答案A解析因为y，所以y|x1，即切线的斜率为.故选A.2(2017潼南县校级模拟)如图，是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在(1,3)上f(x)是减函数C在(4,5)上f(x)是增函数D当x4时，f(x)取极大值答案C解析由于f(x)0函数f(x)单调递增；f(x)0函数f(x)单调递减，观察f(x)的图象可知，当x(2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；当x(1,3)时，函数先增后减，故B错误；当x(4,5)时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选C.3(2018上城区模拟)函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是()答案B解析由图可得1<f(x)<1，切线的斜率k(1,1)且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢结合选项可知选项B符合故选B.4(2018昆明调研)若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2答案C解析依题意得f(x)asinx，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin020b，则b0，又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.选C.5(2018山东烟台期末)若点P是函数yexex3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是()A. B. C. D.答案B解析由导数的几何意义，kyexex3231，当且仅当x0时等号成立即tan1，0，)，又tan<0，所以的最小值为.故选B.6(2017山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cosx Bf(x)x3x2Cf(x)1sin2x Df(x)exx答案C解析A选项中，f(x)3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A；B选项中，f(x)3x22x，其图象的对称轴为x，排除B；C选项中，f(x)2cos2x，其图象关于y轴对称；D选项中，f(x)ex1，其图象不关于y轴对称故选C.7(2018河南郑州质检二)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0 C2 D4答案B解析由题图可知曲线yf(x)在x3处的切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.故选B.8(2017辽宁五校联考)已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A4 B5 C. D.答案C解析f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.故选C.9(2017青山区月考)函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C解析由导函数的图象和yf(x)的图象过原点，设f(x)ax2bx，所以f(x)2axb，由图得a>0，b>0，则<0，<0，则函数f(x)ax2bx图象的顶点在第三象限故选C.10若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是()A1 B. C1或 D1或答案C解析易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，则kf(0)2，直线l方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x22xa0满足44a0，解得a1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02，又kx3x02，联立解得x0(x00舍)，即k，则直线l方程为yx.由联立得x2xa0，由4a0，得a，综上，a1或a.故选C.二、填空题11(2017临川区三模)已知函数f(x)sinxcosx，且f(x)2f(x)，则tan2x的值是_答案解析求导得：f(x)cosxsinx，f(x)2f(x)，cosxsinx2(sinxcosx)，即3cosxsinx，tanx3，则tan2x.12设aR，函数f(x)ex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_答案ln 2解析函数f(x)ex的导函数是f(x)ex.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，即ex(exaex)，所以(e2x1)(1a)0，解得a1，所以f(x)ex.令ex，解得ex2或ex(舍去)，所以xln 2.13(2018金版创新)函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)在R上的导函数f(x)，则不等式f(x)的解集为_答案(，1)解析据已知f(x)，可得f(x)0，即函数F(x)f(x)x在R上为单调递增函数，又由f(1)1可得F(1)，故f(x)x，化简得f(x)x，即F(x)F(1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(，1)14(2017河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_答案1,2解析易知函数f(x)exx的导数为f (x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cosx的导数为g(x)a2sinx，设l2与曲线g(x)ax2cosx的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sinx2.由题设可知k1k21，从而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y的值域是ya2sinx值域的子集，则(0,1)a2，a2，则1a2.三、解答题15(2017云南大理月考)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16(2018福建四地联考)已知函数f(x)x3x22x5.(1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若曲线yf(x)与y2xm有三个不同的交点，求实数m的取值范围解(1)f(x)x3x22x5，f(x)x23x2，易求得f(3)2，f(3).f(x)的图象在点(3，f(3)处的切线方程是y 2(x3)，即4x2y10.(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，得x3x25m，设g(x)x3x25，曲线yf(x)与直线y2xm有三个不同的交点，曲线yg(x)与直线ym有三个不同的交点，易得g(x)x23x，令g(x)0，解得x0或x3，当x<0或x>3时，g(x)>0，当0<x<3时，g(x)<0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g(0)5，g(3)，即g(x)极大值5，g(x)极小值，可画出如图所示的函数g(x) 的大致图象，实数m的取值范围为.