二次函数与三角形面积问题 .docx
精品名师归纳总结【教案目标】二次函数与三角形的面积问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 能够依据二次函数中不同图形的特点挑选合适的方法解答图形的面积。2. 通过观看、分析、概括、总结等方法明白二次函数面积问题的基本类型，并把握二次函数中面积问题的相关运算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。3. 把握利用二次函数的解读式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。【教案重点和难点】水平宽 铅垂高1. 运用 s。22. 运用 y 。3. 将不规章的图形分割成规章图形，从而便于求出图形的总面积。【教案过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知：抛物线的顶点为D（ 1， -4 ），并经过点 E（4， 5），求 :（1） 抛物线解读式。（2） 抛物线与 x 轴的交点 A、B，与 y 轴交点 C。（ 3）求以下图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD 、 OCE。解题思路：求出函数解读式 。写出以下点的坐标：A。 B。 C。 求出以下线段的长：AO。 BO。 AB。 OC。求出以下图形的面积ABD 、ABC 、 ABE 、 OCD、 OCE。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的，这类题目的做题步骤：1. 求出二次函数的解读式。2. 求出相关点的坐标。 3. 求出相关线段的长。 4. 挑选合适方法求出图形的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变 式 训 练1. 如 图 所 示 ， 已 知 抛 物 线 yax 2bxc a0与 x 轴 相 交 于 两 点 Ax1 ,0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B x2 ,0x1x2，与 y 轴负半轴相交于点C，如抛物线顶点P 的横坐标是 1，A、 B 两点间的距离为4，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC的面积为 6。y（1） 求点 A 和 B 的坐标。（2） 求此抛物线的解读式。（3） 求四边形 ACPB的面积。ABOxCP类型二： 三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）水平宽 铅垂高关于 S的学问点：如图1，过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的2三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽” a ，中间的这条直线在ABC内部线段的1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长度叫 ABC的“铅垂高 h ” . 我们可得出一种运算三角形面积的新方法： 面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？S ABCah ，即三角形2铅垂高hC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B水平宽a图 1例 2 如图 2，抛物线顶点坐标为点C 1, 4, 交 x 轴于点 A 3, 0 ，交 y 轴于点 B. 1 求抛物线和直线 AB 的解读式。 2 点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点，连结PA， PB，当 P 点运动到顶点 C9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，求 CAB 的铅垂高 CD 及标。如不存在，请说明理由.S CAB。 3是否存在一点 P，使 S PAB=SCAB ，如存在，求出 P 点的坐8y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题思路：求出直线AB 的解读式是为了求出D点的纵坐标CyD 。BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结铅垂高 CDyCy D，留意线段的长度非负性。分析P 点在直线 AB1xO1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的上方仍是下方 .图- 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式训练 2. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（ 2， 0），连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，得到线段OB. （ 1）求点 B 的坐标。（ 2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解读式。（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？如存在，求出点C 的坐标。如不存在，请说明理由. （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？如有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积。如没有，请说明理由.yyBBCDAOxAOxP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式训练 3. 如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A1,0,B- 3， 0 两点，（ 1）求该抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解读式。（ 2）设（ 1）中的抛物线交y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC 的周长最小？如存在，求出Q 点的坐标。如不存在，请说明理由. （3）在（ 1）中的抛物线上的其次象限上是否存在一点P，使 PBC的面积最大？，如存在，求出点P 的坐标及 PBC的面积最大值 . 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有，请说明理由.yCQBAOx2PyCBAEOx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的，所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的肯定值，数学表达式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDyCyD。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，求出点 D的坐标，是求铅垂高度CD 的关键。所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的肯定值，数学表达式为ABx AxB. 为了保证这个差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标. 因此，求出点A、B 的坐标，是求水平宽的关键.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，仔细加以推理求解.【自主练习 】1. 已知如图，矩形OABC的长 OA= 3 ，宽 OC=1，将 AOC沿 AC翻折得 APC。（1） 填空： PCB= 度， P 点坐标为（， ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如 P， A 两点在抛物线 y= 43x 2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C在此抛物线上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 在（ 2）中的抛物线CP 段（不包括 C， P 点）上，是否存在一点M，使得四边形 MCAP的面积最大？如存在，求出这个最大值及此时M点的坐标。如不存在，请说明理由。第 1 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如图，已知抛物线 yax 2bx3（ a 0）与 x轴交于点 A1， 0和点 B 3， 0，与 y 轴交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 C 1 求抛物线的解读式。 2 设抛物线的对称轴与x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点P， 使 CMP 为等腰三角形？如存在，请直接写出全部符合条件的点P 的坐标。如不存在，请说明理由 3 如图，如点E 为其次象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标图图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A、B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 C（ 0， -3）点， 点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1） 求这个二次函数的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 连结 PO、PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/POPC 为菱形？如存在，恳求出此时点P 的坐标。如不存在，请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 .24. 如图，抛物线 y = ax + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（ 4， 0）、 B（2， 0），与 y 轴交于点C，顶点为 D E（ 1， 2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别交于 F、G（1） 求抛物线的函数解读式，并写出顶点D 的坐标。（2） 在直线 EF 上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长。（3） 如点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积yyDKDCCGEGEAAN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FOBxFOBx可编辑资料 - - - 欢迎下载
