2018年秋人教B版数学选修4-5练习：第三章检测 .doc
第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.用数学归纳法证明当nN*时,1+2+22+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为()A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析:原式=1+2+22+25n-1,当n=1时,原式=1+2+251-1=1+2+22+23+24.答案:D2.用数学归纳法证N*)时,从“n=k”到“n=k+1”,等式左边需增添的项是()ABCD答案:C3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+ (k+2)3+(k3+3k23+3k32+33)=k3+(k+1)3+(k+2)3+(9k2+27k+27),故只需展开(k+3)3即可.答案:A4.若不等式(-1)na<2AC答案:D5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.则下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)<49成立,则当k8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析:对于选项A,f(3)9,加上题设可推出当k3时,均有f(k)k2成立,故A错误.对于选项B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于选项C,没有奠基部分,即没有f(8)82,故C错误.对于选项D,f(4)=2542,由题设的递推关系,可知结论成立.故选D.答案:D6.用数学归纳法证明不等式1A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化2所以2故26<2n-1,即n-1>6,故n>7,所以n最小取8.答案:B7.上一个n层的台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法的总数为f(n),则下列猜想正确的是()A.f(n)=nB.f(n)=f(n)+f(n-2)C.f(n)=f(n)f(n-2)D.f(n)解析:分别取n=1,2,3,4验证.答案:D8.设0<A.2coC.2co答案:B9.用数学归纳法证明:当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除,第二步的假设应写成()A.假设当n=k(k为正奇数)时命题正确,再推证当n=k+1时命题正确B.假设当n=2k+1(kN*)时命题正确,再推证当n=2k+2时命题正确C.假设当n=2k+1(kN*)时命题正确,再推证当n=2k+3时命题正确D.假设当n=2k-1(kN*)时命题正确,再推证当n=2k+1时命题正确答案:D10.用数学归纳法证k,kZ,nN*),在验证当n=1时,左边计算所得的项是()ABCD解析:首项cos(21-1)=cos ,故选B.答案:B二、填空题(每小题5分,共25分)11.在数列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则S2,S3,S4分别为,猜想Sn=.答案:12.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n>1,且nN*)的结果时,第一步当n=时,A=.解析:n>1,且nN*,n取第一个值为2.此时A=11!=1.答案:2113.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,那么a=,b=,c=.解析:取n=1,2,3得到3个方程,联立可解得a,b,c.答案:14.设数列an满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=42n-1-2的第二步中,假设当n=k时结论成立,即ak=42k-1-2,那么当n=k+1时,.答案:ak+1=2ak+2=42(k+1)-1-215.用数学归纳法证明1+2+3+n2解析:令f(n)=1+2+3+n2,则f(k)=1+2+k2,f(k+1)=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2,故f(k+1)-f(k)=(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2三、解答题(本大题共3个小题,共25分)16.(8分)如图所示,圆C上有n个不同的点P1,P2,Pn,设两两连接这些点所得线段PiPj中,任意三条在圆内都不共点,试证它们在圆内共4).证明设圆内的交点个数为P(n).(1)当n=4时,则P(4)=1.(2)假设当n=k时,P(k)k+1个点,且P1,P2,Pk,Pk+1按逆时针方向排列,依次连接Pk+1P1,Pk+1P2,可增加k条线段,分别考查这k条线段与此前圆内线段的交点个数:与Pk+1P1:0个;与Pk+1P2:k-2个(分别与P1P3,P1P4,P1Pk交得);与Pk+1P3:2(k-3)个(分别与P1P4,P1P5,P1Pk,P2P4,P2Pk交得);与Pk+1P4:3(k-4)个(分别与P1P5,P1Pk,P3Pk交得);与Pk+1Pk-1:(k-2)1个(分别与P1Pk,P2Pk,Pk-2Pk交得),故总共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+(k-2)(k-1)-(k-2)=k+2k+(k-2)k-12+23+34+(k-2)(k-1)个交点,得P(k+1)n=k+1时命题成立.根据(1)(2)可知,对一切n4的自然数n命题都成立.17.(8分)已知点的序列An(xn,0),nN*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An-2An-1的中点,(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n3);(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明.解:(1)当n3时,xn(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=a3=x4-x3=由此推测数列an的通项公式为anN*).用数学归纳法证明:当n=1时,a1=x2-x1=a.假设当n=k(kN*,且k1)时,猜测成立,即akn=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=.根据和可知,对任意nN*,猜测anN*)成立,即数列an的通项公式为anN*).18.(9分)已知a2,不等式logax+loga(a+1)ak-1-x2k-1的解集为A,其中aN*,kN.(1)求A.(2)设f(k)表示A中自然数个数,求和Sn=f(1)+f(2)+f(n).(3)当a=2时,比较Sn与n2+n的大小,并证明你的结论.解:(1)不等式同解于由,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-10.a2,ak-1<ak.ak-1xak,且该式满足,.A=x|ak-1xak.(2)由题意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+ (a2-a+1)+(an-an-1+1)=an+n-1.(3)当a=2时,Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.当n=1时,S1=12+1;当n=2时,S2<22+2;当n=3时,S3<32+3;当n=4时,S4<42+4;当n=5时,S5>52+5.猜想当n5(nN)时,Sn>n2+n.下面用数学归纳法证明:当n=5时,已验证.假设当n=k(k5)时,Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,则当n=k+1时,Sk+1-(k+1)2+(k+1)=2k+1-(k+1)2-1=22k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>(k+1)2+(k+1),当n=k+1时结论成立.根据可知,对任何n5(nN*),都有Sn>n2+n成立.综上所述,当n=1时,Sn=n2+n;当n=2,3,4时,Sn<n2+n;当n5(nN*)时,Sn>n2+n.
