2022年方程、方程组及不等式、不等式组 .pdf

上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网一. 教学内容：方程、方程组及不等式、不等式组学习目标：1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。二. 重点、难点1. 方程的有关概念，同解原理2. 方程的分类代 数 方 程有 理 方 程整 式 方 程一 元 一 次 方 程一 元 二 次 方 程分 式 方 程无 理 方 程3. 一元一次方程axba00，a 一次项系数，b 常数项求根公式：xba唯一实根4. 一元二次方程axbxca200，a 二次项系数； b 一次项系数； c 常数项根的判别式：bac24000有 两 个 不 等 实 根有 两 个 相 等 实 根无 实 根当0时，求根公式xbbacaba1 22422,，即解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法当0时，根xx12，与系数 a、b、c 关系xxba12，x xca12构造以xx12，为根的方程有无数个，构造以1 为二次项系数的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网xxxxx x212120()5. 分式方程定义；解法：分式化整式，注意验根；解的个数6. 方程组的有关概念7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组解法思路：消元、降次方法：代入法、加减法8. 解的情况：个数9. 不等式的概念：axb0，a0或axb0，a010. 不等式的基本性质及同解原理11. 不等式的解集及解法，解的个数12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集13. 注意类比的方法14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。【典型例题】例 1. 已知关于x 的方程422xmxm()与2 34321()()xmmx的解相同，求m 的值。解：422xmxm()的解为xm22 34321()()xmmx的解为xm524两个方程的解相同，32524mmm2说 明 ： 若要求x 的 值 是多 少， 不必 将 m 2 代入 原方 程 ，只 需代 入xm32或xm524，得x3例 2. 解下列方程（1）2122536741xxx（2）0 10 20 310 070 10 04.xx解： （1）方程两边同乘12，得6 214 253 6712()()()xxx去括号，得126820182112xxx移项，得128182112620 xxx合并同类项，得147x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网x12说明 ： 解一元一次方程是 解其 它方 程的 基础 ，基 本思 路是把 方程 变形 为最 简方程axb a()0，再求解。（2）利用公式的基本性质，原方程化为：12317104xx去分母，得48122130 xxx2922说明： 注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。例 3. 解下列方程（1）24122122xxxx（2）615138022()()xxxx解： （1）设xxy222，则12212xxy原方程可化为2224122122()xxxx则有2130yy整理，得23102yy解得yy1212，当 xx2221时， xx2210 xx121当xx22212时，xx223200，此方程无实根经检验，x1是原方程的根。（2）设xxy1，则xxy22212原方程化为6253802()yy整理得655002yy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网解得yy1210352，当y1103时，xx1103整理得 310302xx解得xx12133，当y252时，xx152整理得 25202xx解得xx34122，经检验，xxxx1234133122，都是原方程的根。例 4. 不解方程，判断关于x 的方程xxkk2223()的根的情况。解： 原方程整理为xxkk222230()()242322kk442124418414222()()()kkkk()()kk104102241402()k即0，故原方程没有实数根。例 5. m 为何值时，方程()mxmxm12302（1）无实根；（2）有实根；（3）只有一个实根；（4）有两个实根； （5）有两个不等实根； （6）有两个相等实根。解： （1）分两种情况：当 m1 时，方程为240 x，它有一个实根，不符合题意，舍去；当m1时，44138122mmmm()()只需0，即812032mm，时无实根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网（2）分两种情况，当m100时，即mm132m32且m1时方程有两个实根当 m1 时，方程为240 x有一个实根综上所述，即m32时，方程有实根（3）当 m1 时，方程为一元一次方程，只有一个实根（4）当mm108120，即m32且m1时，方程有两个实根（5）当mm108120，即m32且m1时，方程有两个不等实根（6）当mm108120，即m32时方程有两个相等实根说明： 一定要注意审题，区别题目的不同问法。例 6. 已知关于x 的一元二次方程()()mxmx2212110（m 为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m 的取值范围。解： 由题意知，应满足mxxmmx xmxx2122122121010221131141105解由 知：m1由得：()()214122mm4414445022mmmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网m54把、代入，得：112111121012121222xxxxx xmmmmm12综上所述1254m，且m1说明： 解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，式因为是一元二次方程，故二次项系数m210；式因为有两个实数根，故0；、为一元二次方程根与系数的两个关系式；是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件11012xx。这五个条件综合起来， 此题方可解出。 所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件，特别要注意挖掘隐含条件。例 7. （1）设xx12，是关于 x 的方程 xkx220 的两个根，求证：112012xxk；（2）如果关于x 的方程 xkx220及方程xxk220 均有实数根，问方程xkx220与方程 xxk220 是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。证明：（1）由题意，得kxxkx x212128021122220121212xxkxxx xkkk即原等式成立。（2）解：设方程xxk220与方程 xkx220 有相同的实数根a，则可得：aakaka222020kaak220，变形为a kk()()1210即()()ak210若k10，则k1，代入方程xkx220及xxk220名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网两方程均为xx220 ，70，无实根k1，即k10则a20，即a2两个方程有相同的实数根2。说明： 第（ 2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论。例 8. 已知：xx12、是关于 x 的方程4356022xmxm()的两个实根，且|xx1232，求 m 的值。解： 由一元二次方程根与系数的关系，有：xxmx xm1212235432，|xxxx121232，均不为零x xm122320，即xx12，异号xx120，取xx1232设xkxk1232，则3235432322kkmkkm()km354kmmm222243544，)()35422mm整理得 mm2650mm1215，将m1和m5分别代入中，符合0mm1215，反思：通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点：（1）由|xx1232去掉绝对值符号时，一定要考虑xx12的正、负；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网（2）求 m 的过程中，通过设参数较为简便，也可利用xx1232的关系代入去求；（3）求出 m 的值后，还应代入bac24去检验是否符合0。例 9. 解方程组：xxyyxyxy22442201321102解法一：（用代入法）由得：yx11323把代入 得：xxxxxx2241132411322 113220()()()整理，得 4212702xxxx394，把x3代入，得y1把x94代入 ，得y178原方程组的解为xy1131，xy2294178解法二：（用因式分解法）方程 可化为()()xyxy22202即()()xyxy22210 xy220或xy210原方程组可化为：xyxy22032110和xyxy21032110分别解得xy1131，xy2294178说明： 此题为 I 型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网例 10. 解方程组xxyyxxyy222224125302解： 由 得：()xy24xy2或xy2由，得()()230 xyxy20 xy或xy30原方程组化为以下四个方程组：xyxy220，xyxy230，xyxy220，xyxy230原方程组的解为：xyxyxyxy11223344243212243212说明： 此题为 II 型二元二次方程组，要注意根据方程的特点，选择恰当的方法去解。例 11. 解下列方程组：（1）xyxy2412212（2）xyxy2213162（3）10311152722xyxxyx（1）分析：此题是I 型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。解：方程 是 x 与 2y 的和，方程 是 x 与 2y 的积x 与 2y 是方程 zz24210 的两个根解此方程得zz1237，xy327或xy723名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网即原方程组的解是xy11372，xy22732（2）解：122得：()xy225，xy5122得：()xyxy211，可化为以下四个方程组：xyxy51，xyxy51，xyxy51，xyxy51原方程组的解为xyxyxyxy1122334432232332，说明：（1）题可以看成xyaxyb特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数的关系来解。（2）题是xyaxyb22型的二元二次方程组，另外还有xyaxyb22型的二元二次方程组，也有简便的特殊解法。（3）解：设1xyz，那么原方程组变为103115272zxzx解关于 z 和 x 的方程组，得xz31，即xxy311xxy31解得xy32经检验xy32是原方程组的解说明：（3）题是分式方程组，这类方程组要设法转化成整式方程组来解，需要检验，有时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网在应用题或综合题中会遇到。例 12. 已知方程组yxykx221有两个不相等的实数解（1）求 k 的取值范围（ 2 ） 若 方 程 组 的 两 个 实 数 解 为xxyy11和xxyy22是 否 存 在 实 数k ， 使xx xx11221，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。解： （1）原方程组可化成kxkx222110()由题意可知kkkk2220214840()即kk012k12且k0时，方程组有两个不相等的实数解。（2）xxkkx xk122122211()，xx xxkkk1122222111()k0，去分母同乘k2kk2230解得kk1231，k12k1舍去即当k3时，xx xx11221成立例 13. 解不等式组322541312232()()xxxxx的自然数解。解： 由 得x2由得x552x不等式组的解中自然数有0，1，2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网例 14. 解下列不等式（1）|3124x（2）36210 xx解： （1）43124x8318739733xxx（2）3602101xx或3602102xx解得xx212或xx212不等式组 无解，不等式组的解集为：122x原不等式的解集为：122x【模拟试题】（答题时间： 40 分钟）一. 选择题1. 下面四个方程中，有两个不等实根的是（）A. x210B. xx210C. xx2140D. xx2102. 已知方程xx2360 的两根为xx12、，则以3312xx、为根的 一元二 次方程是（）A. xx29540B. xx29540C. xx29180D. xx291803. 已知xy119是方程组mxnynxmy4915的解，则（）A. mn23B. mn23C. mn32D. mn32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网4. 已知一个矩形周长为24，宽的长度不超过4，则长 a 的取值范围是（）A. 2024aB. 012aC. 812aD. 812a5. 已知不等式组562312413xxmxx解集是14x，则 m 的值是（）A. 6 B. 3C. 6D. 3 二. 填空题6. 设()()mnmn2150，则 mn 的值为 _ 7. 如果方程3152xmxm()的两个实根互为相反数，则m_；若两实根互为倒数，则m_，若有一个实根为0，则 m_。8. 已知方程()kxkxk32102，如果方程有两个实根，则k_。9. 关于 x 的一元二次方程xmx210 和 xxm20 有一个相同的实根，则m_，这个相同的根是_。10. 函数yxx41的定义域是 _。11. 已知ab，且322xx，用不等号连接ax_bx。三. 解答题12. 121323223211()()xxxx13. 12442212xxxx14. 233322()()xxx15. xxxx221312()16. xyzxyxyz2332122417. 2512039022xxyyxy18. xxxx3241241()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网19. 求2318314234530()xxxx的自然数解。20. 求51612133445381()()()()xxxx的整数解之和。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网【试题答案】一. 选择题1. D 2. B 3. A 4. D 5. A 二. 填空题6. 5或 3 7. 1；8；5 8. k32且k39. m2 根为 1 10. x4且x111. 三. 解答题12. 13313. 1 14. 3，6 15. x123，x22316. xyz12017. xyxy112232369，18. 132x19. x75自然数解为0 和 1 20. 14 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -