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    2022年数学分析期末试题 .pdf

    • 资源ID:25942063       资源大小:175.22KB        全文页数:10页
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    2022年数学分析期末试题 .pdf

    数学分析( 2)期末试题课程名称数学分析()适用时间试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题 (每小题 3 分,3618 分)1、 下列级数中条件收敛的是() A1( 1)nnB1( 1)nnnC21( 1)nnnD11(1)nnn2、 若f是(,)内以 2为周期的按段光滑的函数 , 则f的傅里叶(Fourier)级数在它的间断点x处 () A收敛于( )f xB收敛于1(0)(0)2f xf xC 发散D可能收敛也可能发散3、函数)(xf在,ba上可积的必要条件是() A有界B连续C单调D存在原函数4、设( )f x的一个原函数为 ln x,则( )fx( )A1xBlnxxC21xDxe5、已知反常积分20 (0)1dxkkx收敛于 1,则 k()A2B22C2D246、231ln(ln)(ln)( 1)(ln)nnxxxx收敛,则()AxeBxeCx为任意实数D1exe二、填空题 (每小题 3 分,3618 分)1、已知幂级数1nnna x在2x处条件收敛,则它的收敛半径为2、 若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn, 则其通项nu, 和 S3、曲线1yx与直线1x,2x及x轴所围成的曲边梯形面积为4、已知由定积分的换元积分法可得,10()( )bxxae f e dxf x dx,则a,b5、数集( 1)1, 2 , 3,1nnnn的聚点为6、函数2( )xf xe 的麦克劳林( Maclaurin)展开式为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 65 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 三、计算题 (每小题 6 分,6530 分)1、 (1)dxxx2、2lnxx dx 3、22 0 (0)aaxdxa4、2 00coslimsinxxt dtx5、2 01sin2x dx四、解答题 (第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分)1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数3、设( )f xx, 将f在(,)上展为傅里叶( Fourier)级数五、证明题 (每小题 6 分,6212 分)1、已知级数1nna与1nnc都收敛,且, 1, 2, 3nnnabcn,证明:级数1nnb也收敛2、证明:22 0 0sincosnnx dxx dx66 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 试题参考答案与评分标准课程名称数学分析 () 适用时间试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、 单项选择题 (每小题3分, 3618 分) B B A C D D 二、 填空题 (每小题3 分,3618 分)22,=2(1)nuSn nln 21,abe1201,(,)!nnxxn三、 计算题 (每小题6 分,6530 分)1.解111(1)1xxxx1(1)dxxx(3 分)11()1dxxxlnln 1.xxC(3 分)2.解由分部积分公式得231lnln3xxdxxdx3311lnln33xxx dx(3 分)33111ln33xxxdxx3211ln33xxx dx3311ln39xxxC(3 分)3.解令sin ,0,2xat t由定积分的换元积分公式,得220aax dx2220cosatdt(3 分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 67名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 220(1cos2 )2at dt2201(sin 2 )22att2.4a(3 分)4.解由洛必达 (LHospital) 法则得200coslimsinxxtdtx20coslimcosxxx(4 分)0limcosxx1(2 分)5.解201 sin2xdx220(sincos )xxdx(2 分)20sincosxxdx4204(cossin )(sincos )xx dxxx dx(2 分)2404(sincos )(sincos )xxxx222.(2 分)四、 解答题 (第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分)1.解(,),xn+(正整数)22sin1nxnn(3 分)而级数211nn收敛,故由M 判别法知,21sinnnxn在区间(,)上一致收敛(3 分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 68 2.解幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn,收敛区间为( 1,1)(2 分)易知1nnxn在1x处收敛,而在1x发散,故1nnxn的收敛域为 1,1)(2 分)01,( 1, 1)1nnxxx(2 分)逐项求积分可得0001,( 1,1)1xxnndtt dtxt即101ln(1),( 1,1).1nnnnxxxxnn(2 分)3.解 函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。(2 分)由于( )f x在(,)为奇函数,故0,0, 1, 2,nan,而1sin11coscosnbxnxdxxnxnxdxnn1( 1)2nn(4 分)所以在区间(,)上,11sin( )2( 1).nnnxf xxn(2 分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 69名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 五、 证明题 (每小题5 分,5210 分)1.证明由1nna与1nnc都收敛知,级数1()nnnca也收敛。(1 分)又由, 1, 2, 3nnnabcn,可知,0,1,2,3,nnnnbacan从而由正项级数的比较判别法知1()nnnba收敛,(2 分)于是由(),1,2,3,nnnnbbaan知级数1nnb收敛(2 分)2.3.证明令2xt,则2tx. (1 分)由定积分的换元积分公式,得0202sinsin ()2nnxdxt dt(2 分)2200sin ()cos2nnt dttdt20cosnxdx(2 分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 70 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -

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