2022年手写体数字的识别知识 .pdf

手写体数字识别第一章绪论 . 41.1 课题研究的意义. 41.2 国内外究动态目前水平. 41.3 手写体数字识别简介. 51.4 识别的技术难点. 51.5 主要研究工作 . 6第二章手写体数字识别基本过程：. 62.1 手写体数字识别系统结构. 62.2 分类器设计 . 72.2.1 特征空间优化设计问题. 72.2.2 分类器设计准则. 82.2.3 分类器设计基本方法. 93.4 判别函数 . 93.5 训练与学习 . 10 第三章贝叶斯方法应用于手写体数字识别. 11 3.1 贝叶斯由来 . 11 3.2 贝叶斯公式 . 11 3.3 贝叶斯公式Bayes 决策理论： . 12 3.4 贝叶斯应用于的手写体数字理论部分：. 16 3.4.1.特征描述： . 16 3.4.2 最小错误分类器进行判别分类. 17 第四章手写体数字识别的设计流程及功能的具体实现. 18 4.1 手写体数字识别的流程图. 18 4.2 具体功能实现方法如下：. 19 结束语 . 25 致谢词 . 25 参考文献 . 26 附录 . 27 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - 摘要数字识别就是通过计算机用数学技术方法来研究模式的自动处理和识别。随着计算机技术的发展， 人类对模式识别技术提出了更高的要求。特别是对于大量己有的印刷资料和手稿， 计算机自动识别输入己成为必须研究的课题，所以数字识别在文献检索、 办公自动化、 邮政系统、 银行票据处理等方面有着广阔的应用前景。对手写数字进行识别， 首先将汉字图像进行处理， 抽取主要表达特征并将特征与数字的代码存储在计算机中，这一过程叫做“训练”。识别过程就是将输入的数字图像经处理后与计算机中的所有字进行比较，找出最相近的字就是识别结果。本文主要介绍了数字识别的基本原理和手写的10 个数字字符的识别系统的设计实现过程。 第一章介绍了数字识别学科的发展状况。第二章手写体数字识别基本过程。第三章贝叶斯方法应用于手写体数字识别。第四章手写体数字识别的设计流程及功能的具体实现，并对实验结果做出简单的分析。关键词 ：手写体数字识别分类器贝叶斯vc+6.0 错误！未找到引用源。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - ABSTRACT The digital recognition researches how to treat with and recognize pattern automatically through computer with math arithmetic. Along with the development of computer technology, human need more advanced digital recognition technology. Especially for large numbers of printed data and manuscript, the automatic recognition and input of Chinese characters becomes a stringent task, therefore the digital recognition will have a broad application prospect on literature retrieval, office automation, postal service system, bank bill processing. In order to recognize digital characters, the first task we have to do is feature extraction of a map, after that we have to store the feature in the computer. This process is called the training. This process compares the hand-written digitals feature and the stored features in the computer. This paper mainly introduces the basic principles of hand-written digital recognition and the design 、realization process of ten hand-written digital recognition system. The first chapter mainly introduces the concepts related to the digital recognition and this disciplines development condition. The second chapter introduces the digital recognitions process. The third chapter mainly introduces digital recognition with Bayes. The fourth chapter introduces design process and functions carried out, the experimental result and the simple analysis. Kewords : Hand-Written DigitalRocognition Classification Bayes vc+6.0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - 第一章绪论1.1 课题研究的意义手写体数字识别的研究有很大的实用价值，例如在邮政编码、 税务报表、 统计报表财务报表、 银行票据、 海关等需要处理大量字符信息录入的场合，在很大程度上要依赖数据信息的输入。随着人们生活水平的提高， 经济活动的发展， 通信联系的需求使信函的互换量大幅度增加，我国函件业务量也在不断增长， 预计到 2010 年，一些大城市的中心邮局每天处理量将高达几百万件，业务量的急剧上升使得邮件的分拣自动化成为大势所趋。在邮件的自动分拣中， 手写数字识别(OCR)往往与光学条码识别 (OBR-Optical Bar Reading) ，人工辅助识别等手段相结合，完成邮政编码的阅读。 目前使用量最大的OVCS 分拣机的性能指标： OCR拒分率 30% ，OCR 分拣差错率 1.1%。如果能通过手写数字识别技术实现信息的自动录入，将会促进这一事业的进展。手写体数字识别的研究不仅有很大的应用价值，而且有重要的理论价值， 由于数字别的类别较小， 有助于作深入分析及验证一些新的理论。例如人工神经网络，相当一部分的 ANN 模型和算法都以手写数字识别作为具体的实验平台。可以说，手写体数字识别的研究将有助于模式识别、机器理解、机器人技术的发展，对今后研究如何更好地进行人机交互，使计算机具有和人一样的能力有很大的理论价值。1.2 国内外究动态目前水平手写体字符的识别在很早以前就开始了。国外从20 世纪 70 年代初研制成“光学字符别机 (OCR) ” ，能够自动识别印刷体的英文文字及阿拉伯数字。20 世纪 70 年代中期出现了能识别手写数字的OCR 。在 20 世纪 70 年代末和 80 年代初又出现了能识别手写英文母的OCR 。日本于 20 世纪 80 年代初研制了印刷体汉字识别样机，这是最早的汉字OCR 。我国从 20 世纪 70 年代就开始进行了字符 (英文字母和数字 ) 识别的研究， 20 世纪 80 年代己进入实用阶段，主要用于邮政信函自动分检， 人口普查和生产统计报表。 手写体数字识别是手写字符识别的一个重要分支，它又分为在线手写体识别和离线写体识别。在线手写体识别通过记录文字图像抬笔、 落笔、笔迹上各像素的空间位， 以及各笔段之间的时间关系等信息，对这些信息进行处理，在处理过程中，系统以定的规则提取信息特征，再由识别模块将信息特征与识别库的特征进行比较、加以识别，最后转化为计算机所使用的文字代码。在线手写体识别的一个重要的不足就是要求写入者必须在指定的设备上书写。而离线手写体识别则是通过使用任何一种图像采集设备，如 CCD 、扫描仪、数码相机等将手写者已写好的文字作为图像输入到计算机中，然后由计算机去识别。 在过去的数十年中， 研究者们提出了许许多多的识别方法。按使用的特征不同，这方法主要可以分为三类: 基于结构特征的方法、基于统计特征的方法和人工神经网结构特征通常包括圆、端点、交叉点、笔划、轮廓等，对于一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - 个复杂的模式， 采用分解的方法将其划分为若干较简单的子模式乃至基元，通过对基元和子模式识别的综合建立在统计数学，特别是贝叶斯决策理论基础上， 通过模式紧密性、 距离和相似性度量等感念和假定，形成了统计决策方法的一系列结论。人工神经网络具有学习和联想功能，在字符识别中主要采用基于BP算法的多层感知机及多层卷积神经网络; 基于正规化方法构建的径向基函数网络; 以及具有“拓扑保持”特性的自组织特征映射( 包括学习矢量量化LvQ)等。一般来说，各类特征各有优势。例如，使用统计特征的分类器易于训练，而且对于使用统计特征的分类器，在给定训练集上能够得到相对较高识别率; 而结构特征的主要优点之一是能描述字符的结构，在识别过程中能有效的结合几何和结构的知识，因此能够得到可靠性较高的识别结果。神经网络具有自学习、容错性、分类能力强和并行处理等特点。手写体识别目前的研究方向是: 特征提取问题，这个方面一是在现有基础上进行组合，另一个是引入新的特征技术; 分类器研究，一是多分类器继集成，另一个方向是研究新的分类器。 、1.3 手写体数字识别简介手写体数字识别是指利用电子计算机自动辨认手写体阿拉伯数字的一种技术， 它属于光学字符识别 (OCR) 的范畴手写体数字识别又分为联机识别(on-line)和脱机识别 (off-line)两种。其中，最为困难的就是脱机手写字符的识别。主要是因为脱机手写体识别过程无法获得字符书写时的一些动态信息。然而，手写体数字识别技术的研究是非常有价值的，它具有广阔的应用前景。手写体数字识别系统性能的评价方法作为一个识别系统， 我们最终要用某些参数来评价其性能的高低，手写数字识别也不例外。 评价的指标除了借用一般文字识别里的通常做法外，还要根据数字识别的特点进行修改和补充。对一个手写数字识别系统，可以用两方面的指标表征系统的性能: 识别率 A 正确识别样本数 / 全部样本数 *100% 误识率 S 误识样本 / 全部样本数 *100% 两者的关系 A+S=100% 数字识别的应用中，人们往往很关心的一个指标是“识别精度”，即在所有识别的字符中，正确识别的比例，表示如下: 识别精度 :P=A/(A+S)*100% 一个理想的系统应是S尽量小，然而 A尽可能大。1.4 识别的技术难点手写体数字识别的研究是一项具有相当难度的工作，此项工作的难点主要在于以下几方面 : 1. 阿拉伯数字的字形信息量很小，不同数字写法字形相差不大，使得准确区分某些数字相当困难。2. 要识别的数字虽然只有十种，而且笔划简单，但同一数字写法千差万别，不同的人写法也不尽相同， 很难完全做到兼顾各种写法的极高识别率的通用性数字识别系统。3. 在实际应用中，对数字的单字识别正确率的要求要比文字要苛刻得多。这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - 是因为文字有上下文关系， 但数字没有上下文关系， 每个单字的识别都至关重要，而且数字识别经常涉及的财会、金融领域，其严格性更是不言而喻的。因此，用户的要求不是单纯的高正确率，更重要的是极低的误识率。4. 大批量数据处理对系统速度又有相当的要求，许多理论上很完美但速度过低的方法也是行不通的。 综上所述，研究高性能的手写数字识别算法是一个有相当的挑战性的课题， 同样的把高效的手写体数字识别算法应用于实际工作之中也是具有重要意义的。1.5 主要研究工作本论文主要介绍了手写体数字识别的一些基本知识和发展概况，然后介绍了贝叶斯理论分类器原理，及贝叶斯分类器应用关于手写体数字识别的设计原理，最后本文叙述了利用贝叶斯原理识别数字的开发过程。第二章手写体数字识别基本过程：2.1 手写体数字识别系统结构一个典型的手写体数字识别系统如图2-1 所示，由数据获取、预处理、特征提取、分类决策及分类器设计五部分组成，一般分为上下两部分。 上半部分完成未知类别模式的分类； 下半部分属于设计分类器的训练过程， 利用样品进行训练，确定分类器的具体参数，完成分类器的设计。而分类决策在识别过程中起作用，对待识别的样品进行分类决策。图 2-1 手写体数字识别系统结构数字识别组成单元功能介绍如下。1.数据获取。用计算机可以运算的符号来表示所研究的对象，一般获取的数据类型有以下几种。二维图像：文字、指纹、脸谱照片等。未知类别模式的分类获取数据预处理特征提取分类决策分类结果训练样本预处理特征选择确定判别函数改进判别函数误差检验分类器设计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - 一维波形：脑电图、心电图、季节震动波形等。物理参量和逻辑值：体温、化验数据、参量正确与否的描述。2.预处理。对输入测量仪器或其他因素所造成的退化现象进行复原、去噪声、提取有用信息。3.特征提取。对原始数据进行变换，得到最能反映分类本质的特征。将维数较高的测量空间转变为维数较低的特征空间。4.分类决策。在特征空间中用模式识别方法把被识别的对象归为某一类。5.分类器设计。基本做法是收集样品训练集，在此基础上确定判别函数，改进判别函数和误差检验。2.2 分类器设计2.2.1 特征空间优化设计问题确定合适的特征空间是设计模式识别系统一个十分重要，甚至最为关键的问题。如果所选用的特征空间能使同类物体分布具有紧致性，不同类别物体彼此分开，即各类样品能分布在该特征空间中彼此分割开的区域内，这就为分类器设计提供良好的基础。 反之，如果不同类别的样品在该特征空间中混杂在一起，再好的设计方法也无法提高分类器的准确性。特征空间的设计往往是一个逐步优化的过程，设计的初期阶段， 选择的特征空间维数较高， 需要对它进行改造， 改造的目的在于提高某方面的性能，因此又称为特征的优化问题。 一般说要对初始的特征空间进行优化就是为了降维，即将初始的高维特征向量改成一个维数较低的空间。优化后的特征空间应该更有利于后续的分类计算。 对特征空间进行优化有两种基本方法，一是特征选择， 另一种是特征的优化组合。1、特征选择在模式识别中特征提取是首先要解决的问题。为了对样品进行准确的识别，需要进行特征选择或特征压缩。 特征选择指对原始数据进行抽取，抽取那些对区别不同类别最为重要的特征， 而舍去那些对分类并无多大贡献的特征，能得到反映分类本质的特征。 如果区别不同类别的特征都能从输入数据中找到，这时自动模式识别问题就简化为匹配和查表，模式识别就不困难了。2、特征提取假设已有 D 维特征向量空间，12,.nYy yy，特征的组合优化问题涉及特征选择和特征提取两部分。特征选择是指从原有的D 维特征空间中删去一些特征描述量， 从而得到精简后的特征空间。在这个特征空间中， 样品由 d 维空间的特征向量描述：12,.nXx xx，dD。由于 X 只是 Y 的一个子集，因此每个分量 xi必然能在原特征集中找到其对应的描述量xi=yj。特征提取则是找到一个映射关系：A：Y X （3.1）使新样品特征描述维数比原维数低。其中每个分量xi 是原特征向量各分量的函数，即xi=xi（y1，y2，, ， yD）（3.2）因此这两种降维的基本方法是不同的。在实际应用中可将两者结合起来使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - - 用，比如先进行特征选择，即从原有的D 维特征空间，删去一些特征描述量，从而得到精简后的特征空间，然后再进一步特征提取，或反过来。总之，特征选择与特征提取的任务是求出一组对分类最有效的特征，有效是在特征维数减少到同等水平时，其分类性能最佳。2.2.2分类器设计准则模式识别分类问题是指根据待识别对象所呈现的观察值，将其分到某个类别中去。具体步骤如下：第一步：建立特征空间中的训练集，已知训练集里每个点所属类别。第二步：从这些条件出发， 寻求某种判别函数或判别准则，设计判决函数模型。第三步：根据训练集中的样品确定模型中的参数。第四步：将这一模型用于判决， 利用判决函数或判别准则去判别每个未知类别的点应该属于哪一类。模式识别的基本框架制定准则函数，实现准则函数极值化。 常用的准则有以下几种。1、最小错分率准则完全以减少分类错误为原则， 这是一个通用原则， 它使错分类的样品数量最小。2、最小风险准则当接触到实际问题时， 可以发现使错误率最小不一定是一个普遍适用的最佳选择。有的分类系统对错误率大小并不看重，而是要考虑错分类的不同后果，为使总的损失最小，有时宁肯将错分率加大。因此引入风险、损失这些概念，以便在决策时兼顾不同后果的影响。 在实际中计算损失与风险是复杂的，在使用数学公式计算时，往往用赋予不同权值来表示。 在做出决策时，要考虑所承担的风险。基于最小风险的贝叶斯决策规则是为了体现这一点而产生的。3、近邻准则近邻准则是分段线形判别函数的一种典型方法。这种方法主要依据同类物体在特征空间具有聚类特性的原理。同类物体由于其性质相近， 它们在特征空间中应具有聚类的现象， 因此可以利用这种性质产生分类决策的规则。例如有两类样品，可以求出某一类的平均值， 对于任何一个未知样品， 先求出它到各个类的平均值距离，判断距离哪个类近就属于哪个类。4、Fisher准则根据两类样品一般类内密集， 类间分离的特点， 寻找线性分类器最佳的法线向量，使两类样品在该方向上的投影满足类内尽可能密集，类间尽可能分开。 相反如果把它们投影到任意一根直线上，有可能不同类别的样品就混在一起了，无法区分。如果把投影直线旋转一定的角度，就有可能找到一个方向， 样品投影到这个方向直线上， 各类样品就能很好的分开。 如何找到一个最好方向及如何实现向最好方向投影的变换，这正是Fisher算法要解决的基本问题。5、感知准则感知准则函数以使错分类样品到分界面距离之和最小为原则。采用错误提供信息实现迭代修正的学习原理。 用错分类提供的信息修正错误， 这种思想对机器学习的发展以及人工神经元网络的发生发展产生深远影响。其优点是通过错分类名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - 样品提供的信息对分类器函数进行修正，这种准则是人工神经元网络多层感知器的基础。2.2.3分类器设计基本方法在 d 维特征空间已经确定的前提下， 讨论的分类器设计问题是一个选择什么准则，使用什么方法，将已确定的d 维特征空间划分为决策域的问题。分类器设计有两种基本方法：模板匹配法和判别函数法。1、模板匹配法将待分类样品与标准模板进行比较，看与哪个模板匹配程度更相似， 从而确定待测试样品的分类。 而近邻准则在原理上属于模板匹配。它将训练样品集中的每个样品都作为模板， 用测试样品与每个模板做比较，看与哪个模板最相似 （即为近邻） ，就按最近似的模板的类别作为自己的类别。2、判别函数法设计基于判别函数法的分类方法有两种：基于概率统计的分类法和几何分类法。直接使用 Bayes决策需要首先得到有关样品总体分布的知识，包括各类先验概率 P（w1）及类条件概率密度函数，计算出样品的后验概率P（w1|X）,并以此作为产生判别函数的必要数据，设计出相应的判别函数与决策面。当各类样品近似于正态分布时， 可以算出使错误率最小或风险最小的分界面及相应的分界面方程。因此如果训练样品处于近似的正态分布，可以用 Bayes决策方法对分类器进行设计。几何分类法由于一个模式通过某种变换映射为一个特征向量后，该特征向量可以理解为特征空间的一个点， 在特征空间中， 属于一个类的点集， 总是在某种程度上与属于另一个类的点集相分离， 各个类之间是确定可分的。 因此如果能够找到一个分离函数（线性或非性形函数） ，把不同类的点集分开，则分类任务就解决了。几何分类器不依赖于条件概率密度的知识，可以理解为通过几何的方法， 把特征空间分解为相应与不同类别的子空间。而且呈线形的分离函数， 将使计算简化。 分离函数又分为线性判别函数和非线性判别函数。3.4 判别函数无论是设计一个基于概率统计的分类器，还是设计一个几何分类器， 最终都转化为判别函数的形式。1、二类情况对于只有简单的两类情况，判别函数形式如图2-1 所示，根据计算结果的符号将 X 分类。图 2-1 两类分类器形式d X1X2Xn +1W1-1W2决策判别计算阀值单元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - 假定判别函数 d（X）是 X 的线性函数， d（X）=WTX+W0，用矢量X=12,.,nxxxT来表示模式，一般的线性判别函数形式为：1122()dXxxxnnn+1 +（3.3）式中 W0=12,Tn ，称为权矢量或参数矢量。2、多类情况对于多类别问题， 假如有 M 类模式12m， ， 它们对应于 M 类图像。对于 M 个类别，就要给出M 个判别函数：12(),(),dXdXdXM ,()，各个判别函数构成分类器，基本形式如图3-1 所示：图 3-2 判别函数构成的多类分类器对于线性情况，判别函数形式为1122101()TTnnnndXxxxWXWX（3.4）其中12(,1)TnXxxx，121(,)TnW。3.5 训练与学习所谓模式识别的学习与训练是从训练样品提供的数据中找出某种数学式子的最优解，这个最优解使分类器得到一组参数，按这组参数设计的分类器使人们设计的某种准则达到极值。 确定分类决策的具体数学公式是通过分类器设计这个过程确定的。这个过程称为训练与学习的过程。训练与学习的过程中的训练集是指一个已知的样品集，在监督学习方法中用它来开发模式分类器。 在本系统中， 自己手写的 50 个汉字字符， 从这 50 个字符中提取信息组成特征库，这50 个字符就是训练集。训练与学习的过程中的测试集就是识别时随机用手写的汉字。d1d2dM MAX/MIN X1X2Xn 最值选择器决策名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - 第三章贝叶斯方法应用于手写体数字识别3.1 贝叶斯由来贝叶斯（ R.T.Bayes，17021761）学派奠基性的工作，是英国学者贝叶斯的一篇具有哲学性的论文关于几率性问题求解的讨论。著名数学家拉普拉斯利用贝叶斯的方法导出了重要的“相继律”，从而引起人们对贝叶斯的方法和理论的重视。 尽管利用贝叶斯方法可以推导出很多有意义的结果，但是，由于理论上和实际应用中存在很多问题，在19 世纪，贝叶斯理论并未被普遍接受。进入 20 世纪，意大利的菲纳特、英国的杰弗莱、古特、萨凡奇、林德莱对贝叶斯学派的形成做出了重要贡献，1958 年英国历史最长的统计杂志Biometrika 重新全文刊载了贝叶斯的论文。20 世纪 50年代，罗宾斯（ H.Robbins）将经典统计学派的方法和贝叶斯学派的方法进行融合，提出了经验贝叶斯方法（EB 方法） 。如今，贝叶斯学派的思想方法已渗透到了许多学科。贝叶斯理论在人工智能、机器学习、数据挖掘等方面也有广泛应用。20 世纪 80年代，贝叶斯网络被用于专家系统的知识表示，90 年代可学习的贝叶斯网络被用于数据挖掘和机器学习。 涉及因果推理、 不确定性知识表达、 聚类分析等方面的贝叶斯方法的文章大量涌现。 并且出现了专门研究贝叶斯理论的组织和学术刊物 ISBA。贝叶斯分类是一种统计学分类方法，可以预测类成员关系的可能性， 如给定样本属于一个特定类的概率。目前，贝叶斯分类方法已在文本分类、字母识别、经济预测等领域获得了成功的应用。 贝叶斯方法正在以其独特的不确定性知识表达形式、丰富的概率表达能力、 综合先验知识的增量学习等特性成为众多数据挖掘方法中最引人注目的焦点之一。3.2 贝叶斯公式贝叶斯公式建立起先验概率和后验概率的联系。先验概率是指根据历史资料或主观判断确定的各事件发生的概率，由于没能经过实验证实， 属于检验前的概率，所以称为先验概率。先验概率一般分为两类，一是客观先验概率，指利用历史资料计算得到的概率； 二是主观先验概率， 指在没有历史资料或历史资料不全的情况下，仅仅凭借主观经验判断得到的概率。后验概率是指利用贝叶斯公式， 结合调查等方式获取了新的附加信息，对先验概率进行修正后得到的更符合实际的概率。1. 先验概率)(wiP先验概率)(wiP针对 M 个事件出现的可能性而言，不考虑其他任何条件。例如，由统计资料表明总药品数为N，其中正常的药品数位N1，异常药品数位N2，则：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - NPNPNwNw2211)()(我们称)(1wP及)(2wP为先验概率。显然在一般情况下正常药品占比例大，即)()(21wwPP。仅按先验概率来决策， 就会吧所有药品都划归为正常药品，并没有达到将正常药品与异常药品分开的目的。这表明由先验概率所提供的信息太少。2.贝叶斯公式也称为后验概率公式或逆概率公式，有几种不同的形式。通常采用事件形式或随机变量形式表示。2.1.事件形式设 A1, A2, An互不相容，并且有1niiA（必然事件），则对于任一事件B，有njjiiiiiiABPAPABPAPBPABPAPBAP1（i=1, 2, n）（8.14）2.2 随机变量形式设 x 和 为两个随机变量， x 是观测向量， 是未知参数向量，其联合分布密度是 p(x, )，p(x| )是 x 对 的条件密度， ( )是 的先验分布密度，于是对 x 的条件密度 p( |x)为dxpxpxp（8.15）贝叶斯假设指出， 在没有任何关于 的信息时，可以认为 的先验分布是均匀分布。当然，确定先验分布的准则还包括杰弗莱准则、最大熵准则、共轭分布族等。总之，贝叶斯方法的重点在于研究如何合理地使用先验信息。3.3 贝叶斯公式 Bayes决策理论：在分类的时候难免出现错分类的情况，如何做出合理的判决就是Bayes决策理论所要讨论的问题，其中具有代表性的是最小错误概率的Bayes决策3 基于最小错误率的贝叶斯决策：假定 得 到 一 个 待 识 别 量 的 特征X 后 ， 每 个样 品 X有 n 个 特 征 ，即),.,(21xxxnXT,通过样品库，计算先验概率)(wiP及类别条件概率密度函数)|(wiXP，得到呈现状态X 时，该样品分属各类别的概率，显然这个概率值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - 可以作为识别对象判属的依据，从后验概率分布图44 可见。在 X 值小时，药品被判为正常比较合理的， 判断错误的可能性小。 基于最小错误概率的贝叶斯决策就是按后验概率的大小判别的。这个判别又可以根据类别数目， 写成不同的集中等价形式。1.两类问题若两类样品属于ww21,类中的一类，已知两类的先验概率分别为)(1wP，)(2wP。两类的类条件概率密度为)|(1wXP,)|(2wXP.则任给一 X。判别 X 的类别。由贝叶斯公式可知：)(/)()|()|(XPPXPXPwwwjjj由全概率公式可知)()|()(1wwjMjjpXPXP其中 M 为类别。对于两类问题)()|()()|()(2211wwwwPXPPXPXP所以用后验概率来判别为wwwwwXXXpXpXP12221)|()|()|(判别函数还有另外两种形式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - （1）似然比形式wwwwwwXXPPXpXpXl211221)()()|()|()(其中上面公式中的)( Xl在统计学中称为似然比， 而)()(12wwpp称为似然比阀值。（2）对数形式wwwwwwwwXXpPpPXXP21221221)()(ln)()(ln)|ln()|(ln上面三种判别函数是一致的，也可以用后验概率来表示判别函数。2.多类问题现在讨论多类问题的情况。判别函数的一般形式如下图：若样本分为 M 类wwwM,.,21，各类的先验概率分别为)(1wP，)(2wP，.)(wMP,各类的类条件概率密度分别为)|(1wXP，)|(2wXP， .)|(wMXP,就有 M 个判别函数。在取得一个观察特征X 之后，在特征 X 的条件下，看哪个类的概率最大，就应该把X 归于概率最大的那个类。因此对于任一模式X,可以通过比较各个判别函数来确定X 的类别。d1d2dM MAX/MIN X1X2Xn 最值选择器决策名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - wwwwwiiiMjiiXXPPXPP)|()()|()(m ax1Mi, . . .2, 1就是把 X 代入 M 个判别函数中，看哪个判别函数最大， 就把 X 归于这一类。判别函数的对数形式为：wwwwwiiiMjiiXXPPXPP)|(ln)(ln)|(ln)(lnmax1Mi, . . .2,1由于先验概率通常是很容易求出来的，贝叶斯分类器的核心问题就是求出类条件概率密度)|(wiXP如果求出了条件概率，则后验概率就可以求出了，判别问题就可以解决了。 在大多数情况下， 类条件密度可以采用多维变量的正态密度函数来模拟。在工程上的许多问题中， 统计数据往往满足正态分布规律，多维变量的正态密度函数为：)()(21exp|)2(1)(12/12/XXsXPSTN其中：时：所以当样品呈整台分布的行列式是的逆矩阵是维协方差矩阵为维特征向量为SSSSXXESXTNXXX|N)(),(N),.,(121所以此时的正态分布的贝叶斯分类器判别函数为：)()|()(wwhiiipXPX|ln212ln2)()(21|ln212ln2)()(21)()()(21exp|1)(1)(1)(1)()(1)(2/12/max2SSSSwSsIITNIiiTiiTinnwXXwXXnwXXwXXpwXXwXXIIiiii名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - 3.4 贝叶斯应用于的手写体数字理论部分：3.4.1.特征描述：在模式识别技术中， 被观测的每个对象称为样品， 例如本文中的每个手写数字可以作为一个样品，共写了10 个数字，所以就有10 个样品（ X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10） ，一共有 10个不同的类别。对于一个样品来说，必须确定一些与识别有关的因素作为研究的根据，每一个因素称为一个特征。 模式就是样品所具有的特征描述。 模式的特征集由处于同一个特征空间的特征向量表示，特征向量的每个元素称为特征，该向量也因此称为特征向量。一般用小写字母 x, y, z 来表示特征。如果一个样品X 有 n 个特征，则可把X 看成一个 n 维列向量，该向量称为特征向量X，记作：X=12.nxxx=12,.,nxxxT（1.1）抽取图像特征的目的是为了进行分类，识别图像。也就是把图像变成n 维空间的一个向量，实际上就是看成n 维空间中的一个点，这样有利于从几何上考虑问题，计算上比较方便。如果一个对象的特征观察值为x1,x2, ， xn, 它可构成一个n 维的特征向量值 X，即 X=x1,x2, ， xnT,式中 x1,x2, ， xn为特征向量 X 的各个分量。在模式识别的过程中，要对许多具体对象进行测量，以获得许多观测值，其中有均值、方差、协方差与协方差矩阵。1.均值N 个样品的均值可表示为：_1211,NTjnjXXxxxN ,（1.2）其中ix是第 i 个特征的平均值，11NiijjxxN（1.3）2.方差方差用来描述一批数的分散程度，第i 个特征的N 个数的方差公式是：22111NiijijsxxN（1.4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - 3.协方差与协方差矩阵：在 N 个样品中，第 i 个特征和第 j 个特征之间的协方差定义为：111NijikijkjksxxxxN（1.5）对于同一批样品来说，很明显有：i jjiss如果一批样品有n 个特征 x1,x2, ， xn。求出没两个特征的协方差，总共得到 n2个值，将这 n2个值排列成以下的n 维方阵，称为协方差矩阵：1111nnn nssSsa，协方差矩阵是对称矩阵，而且主对角线元素 sij就是特征 xi的方差 si2，i=1,2,3,n。3.4.2最小错误分类器进行判别分类写体数字，提取特征后，应用Bayes分类器进行判别分类。在手写体数字的识别属于多类情况，可以认为每类样品呈正态分布。1）求出每一类手写体数字样品的均值：TnxixxxNwwwwXwXiiiii),.,(1)()(2)(1)(9, . . .2, 1,0i公式中，Ni代表wi类的样品个数； n 代表特征数