2022年指数与指数幂的运算归类 .pdf
指数与指数幂的运算知识清单： 1 根式的概念 (l)n次方根的定义n次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设aR，凡是大于1 的奇数，则a的n次方根是na. 在实数范围内， 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义设0a，n是大于 1 的偶数，则a的n次方根是na. (2)开方与乘方求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求2 的四次方，结果是42 =16，而求 2 的四次方根，结果为42. 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(3) 对于根式na，需注意以下四点：nN，且1n当n为大于 l 的奇数时，na对任意aR都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，()nnaa当n为大于1 的偶数时，na只有当0a时有意义，当0a时，无意义. na(0)a表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是na，()nna=a. 式子nna对任意aR都有意义，当n为奇数时，nna= a；当n为偶数时，,0,0.nna aaaa a例 1 计算：52 674 3642. 2分数指数幂及幂指数 (1)mna的意义分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂mna不可理解为mn个a相乘，它是根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 式 的 一 种 新 的 写 法 ， 规 定mna=nma（0a，m，n， 都 是 正 整 数1n），mna=1mna=1nma（0a，m，n，都是正整数1n）. 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已， (2)0的指数幂0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义 (3) 分数指数幂的运算性质分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致如rsrsa aa（,0r sQ a） ；()rsrsaa（,0r sQ a） ; ()rrraba b (,0,0rQ ab). (4) 无理数指数幂的意义当0a，p是一个无理数时，pa的值可用两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是pa） ，故pa是一个确定的实数(5) 幂指数的扩充：幂指数定义底数的取值范围有理数指数正分数指数nmnmaa（,m nNm n且互质）m为奇数aRm为偶数0a负分数nma=1mna（,m nNm n且互质）m为奇数0a且aR指数m为偶数 a0 无理数0a且x是无理数时，xa也是一个确定的实数一般规定0a例2 计算（或化简）下列各式：（1）141030.753327(0.064)()( 2) 160.018名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - （2）1122111122222ababababab. 3指数式的条件求值问题(1) 化简求值是考试中经常遇到的问题之一先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理(2) 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用 (3) 在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算例 3 已知11223xx，求22332223xxxx的值 . 4 指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析 (1)逆用公式 例 已知5a，311b，6123c，试比较a,b,c的大小 解析 因63655125a，62361111121b，而 121 123 cb，56123311 (2)妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如 :112112333333()()ababaa bb,11112222() ()ababab等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解 例 ：413333223338(12)42aa bbaababa (3)整体代换在指数运算中， 若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解 例 已知2310aa，求1122aa的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - (4) 化异为同 例 计算200820093232（） （+）（ 5）化负为正 例 化简11444242xxxx。例 4 已知12xy，9xy，且xy，求12112212xyxy的值。例 5 （1）已知221na，求33nnnnaaaa；（2）若111222aax，0 x，求222424xxxxxx的值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
