2022年浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理 .pdf

第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根， 也就是说，（）是一个非负数， 即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。 这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（）的性质（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七 : 最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母 ；分母中不含根式 。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。知识点八 :同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。知识点九 : 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式二次根式的乘法：二次根式的除法：注意： 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式强调：二次根式具有双重非负性。（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算注意： 进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧， 以便使运算过程简便二次根式运算结果应尽可能化简另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数例如不能写成（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化（6）分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。(1) 形如：aabaaabab或babacbababacbac(2) 形如：babacbababacbac2)()()(或babacbababacbac)()()(7. 关于具有双重根号的二次根式。如：,二. 重点和难点：重点：二次根式的运算。难点： 1. 混合运算以及应用。 2.二次根式的内移和外移。 3.二次根式的大小比较。【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移： 因式内移时， 若，则将负号留在根号外即：（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论即：6、二次根式的比较：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页（1）若，则有；（ 2）若，则有说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小考点题型：1二次根式的概念和性质（选择、填空）（4 分）2二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页第二章一元二次方程一、教材内容 1本单元教学的主要内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程、 二元一次方程 、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容二、教学重点 1一元二次方程及其它有关的概念 2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程 3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题三、教学难点 1一元二次方程配方法、十字相乘法解题 2用公式法解一元二次方程时的讨论 3建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别四、教学关键 1分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型 2用配方法解一元二次方程的步骤 3解一元二次方程公式法的推导五、知识点：1.定义：形如)0(02acbxax的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系数， bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。例：若方程013)2(|mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则（）A2m Bm=2 Cm= 2 D2m2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法； （ 2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）； （3）配方法； （4）求根公式法; （ 5）换元法。例：按要求解方程（1）用配方法解方程：x2 4x+1=0 （2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=0 3. 一元二次方程根的判别式：=acb42 . 0, 方程有两个不相等的实数根；=0 ，方程有两个相等的实数根；M C. M D. 大小关系不能确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页4. 韦达定理：acxxabxx2121,例 1： （8 分）设 x1、x2是方程 2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值时， x12+x22有最小值？并求这个最小值。例 2：若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 _ 5. 可化为一元二次方程的分式方程。（分式方程要验根）例：1415112xxxx；6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题）例：. 某商店如果将进价为每件8 元的某种商品按每件10 元出售， 每天可销售100 件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1 元，销售量要减少10 件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。7、一元二次方程和二次函数之间的关系例 1. 当 m为何值时，抛物线yxmxmm2222与 x 轴有两个交点，有一个交点，无交点。例 2. 已知二次函数ymxmxm2221()与 x 轴有两个交点，求m的取值范围。8、一元二次方程应用题例 1. 如图， AO=OB=50cm，OC是一条射线， OC AB ，一只蚂蚁由A以 2cm/s 速度向 B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以 3cm/s 的速度沿 OC方向爬行， 几秒钟后， ?两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2 ？OCBA六、易错点分析：易错点一：（概念）1)判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页如：下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有- ax2+bx+c = 0 x2+ 3 x -5=0 2x2-x-3 = 0 x2-2+x3 = 0 2)注意本单元在学习概念时，注意联系实际， 加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。如：已知关于x 的方程（ m-n）x2 +mx+n=0 ，(m0), 你认为：当 m和 n 满足什么关系时，该方程为一元二次方程？当 m和 n 满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3)没有化成一般形式，混淆a、b、 c. 易错点二：（解法）（1）因式分解法没注意方程没有写成A*B=0 形式。如，解方程（x-1 ）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3. (2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。如，解方程x2-4x=2 ，误认为a=1,b= 4,c=2. (3) 丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x, 两边同时除以 (x+2),得 x=3. 易错点三（一元二次方程应用题）审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；解方程后未经检验就盲目作答。检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材P114：探究3问题中， 方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。 这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页有关四边形各个知识点精细化一. 知识点：1、正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义中的“两组对边平行”是它的特征， 抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性， 它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法同学们要在理解的基础上熟记定义（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作 ABCD ，读作“平行四边形ABCD ” 2、熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的（ 1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（ 2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（ 3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（ 4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积： =底高 =ah；平行四边形的对角线将四边形分成4 个面积相等的三角形3学会平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法 4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、 几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形； （2）一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形； （2）一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形5几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：（ 1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（ 4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（2）菱形：（ 1）边：四条边都相等； （2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性： 既是轴对称图形又是中心对称图形（3）正方形：（1）边：四条边都相等； （2）角：四角相等； （ 3）对角线：对角线互相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； （4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补； （3）对角线：对角线相等； （4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形6、几种特殊四边形的判定方法（ 1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形；对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形同一底两个底角相等的梯形；对角线相等的梯形7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等说明四边形ABCD 的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直说明四边形ABCD的四条边相等（3）识别正方形的常用方法先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角（4）识别等腰梯形的常用方法先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S矩形 =ab（2）设菱形 ABCD 的一边长为a，高为 h，则 S菱形 =ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S菱形 =（3）设正方形ABCD的一边长为a，则 S 正方形 =；若正方形的对角线的长为a，则 S正方形 =（4）设梯形ABCD 的上底为a，下底为b，高为 h，则 S梯形 =三、多边形：1多边形的定义在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页正多边形的定义在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形3探索多边形内角和公式n 边形内角和公式：任意多边形的外角和都等于360 4密铺的定义：何谓密铺呢？课本上介绍：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺 5密铺的特征： （1）边长都相等； （2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为 360四、中心对称图形 1、 如果一个图形绕着它的中心点旋转180后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。 2 、图形上对称点的连线被对称中心平分；五、重点和难点：重点： 1. 平行四边形的性质和判定方法。2. 各种特殊四边形的性质和判断。难点： 1、用综合法证明命题时，究竟从哪个条件入手开始证明，并且要做到条理清楚是普遍的一大难点。 2、定理的选择，即是针对题目选择恰当的定理。 3、如何添加辅助线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页