教学设计平面向量数系的扩充与复数的引入 .pdf

【教学设计 】遂宁中学罗辉内容 平面向量、数系的扩充与复数的引入辅助工具多媒体课件第一节平面向量的概念及其线性运算基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1了解向量的实际背景；2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3理解向量的几何表示(二)小题查验1判断正误(1)向量 AB 与向量 BA是相等向量 () (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小() (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量() (4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关 () 答案： (1)(2)(3)(4)2.(人教 A 版教材例题改编)如图，设 O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA ， OB ， OC 相等的向量解： OA CB DO ；OB DC EO ；OC AB ED FO . 基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2掌握向量数乘的运算及其几何意义；3了解向量线性运算的性质及其几何意义(二)小题查验1判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量() (2) BA OA OB() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 46 页 - - - - - - - - - (3)向量 ab 与 ba 是相反向量 () (4)两个向量相加就是两个向量的模相加() 答案： (1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材习题改编)化简：(1)( AB MB ) BO OM _. (2) NQ QP MN MP _. 答案： (1) AB(2)0 基础盘查三共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用(二)小题查验1判断正误(1)若向量 a，b 共线，则向量a，b 的方向相同 () (2)若 ab，bc，则 ac() (3)向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上() (4)当两个非零向量a，b 共线时，一定有b a，反之成立 () 答案： (1)(2)(3)(4)2已知 a与 b 是两个不共线的向量，且向量a b 与 (b3a)共线，则 _. 答案： 13考点一向量的有关概念| (基础送分型考点 自主练透 ) 必备知识 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量题组练透 1给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 46 页 - - - - - - - - - 条件；若 a b，bc，则 ac；ab 的充要条件是 |a|b|且 ab；若 a b，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() ABCD解析： 选 A不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 AB DC ， | AB | DC |且 AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则 AB DC 且| AB | DC |，因此， AB DC . 正确 ab， a，b 的长度相等且方向相同，又 bc， b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故ac. 不正确 当 a b 且方向相反时，既使|a| |b|，也不能得到ab，故|a|b|且 a b 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0 这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选 A. 2设 a0为单位向量，下列命题中：若a 为平面内的某个向量，则a|a| a0；若a与 a0平行，则a|a|a0；若 a 与 a0平行且 |a|1，则 aa0.假命题的个数是() A0 B1 C2 D3 解析： 选 D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a 与 a0平行，则a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 类题通法 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 46 页 - - - - - - - - - 平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线考点二向量的线性运算| (重点保分型考点 师生共研 ) 必备知识 1向量的加法定义：求两个向量和的运算运算法则 (几何意义 )：如图运算律： (1)交换律： abba；(2)结合律： (ab)ca(bc)2向量的减法定义：向量a 加上向量 b 的相反向量，叫做a 与 b的差，即a(b) ab.求两个向量差的运算叫做向量的减法运算法则 (几何意义 )：如图3向量的数乘定义：实数与向量 a 的积运算，即 a. 运算法则 (几何意义 )：如图， a 的长度与方向规定如下：(1)| a| | |a|. (2)当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 0 时， a0. 运算律： ( a)()a；( )a a a； (ab) a b. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 46 页 - - - - - - - - - 提醒 (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2) 0 或 a0? a0. 典题例析 1(2014 新课标全国卷)设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点， 则 EB FC () A ADB.12ADC BCD.12BC解析： 选 AEB FC 12( AB CB )12( AC BC )12( AB AC ) AD ，故选 A. 2(2013 江苏高考 )设 D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点， AD12AB，BE23BC.若 DE 1AB 2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _解析： DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23( BA AC )16AB 23AC ，所以 116，223，即 1212. 答案：12类题通法 1向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2两个结论(1)P 为线段 AB 的中点 ? OP 12( OA OB )；(2)G 为 ABC 的重心 ? GA GB GC 0. 演练冲关 1 (2015 聊城二模 )在 ABC 中，AB c， AC b.若点 D 满足 BD 2 DC ， 则 AD () A.23b13cB.53c23b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 46 页 - - - - - - - - - C.23b13cD.13b23c解析： 选 A如图，可知 AD AB BD AB 23( AC AB )c23(bc)23b13c.故选 A. 2若典例2 条件变为：若AD 2 DB ， CD 13CA CB ，则 _. 解析： CD CA AD ， CD CB BD ， 2 CD CA CB AD BD . 又AD 2 DB ， 2 CD CA CB 13AB CA CB 13( CB CA ) 23CA 43CB . CD 13CA 23CB ，即 23. 答案：23考点三共线向量定理的应用| (题点多变型考点 全面发掘 ) 必备知识 共线向量定理向量 a(a0)与 b共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a. 提醒 限定 a0 的目的是保证实数的存在性和唯一性一题多变 典型母题 设两个非零向量e1和 e2不共线如果AB e1e2， BC 2e13e2， AF 3e1ke2，且A，C，F 三点共线，求k 的值解AB e1e2， BC 2e13e2，AC AB BC 3e12e2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 46 页 - - - - - - - - - A，C，F 三点共线，AC AF ，从而存在实数 ，使得 AC AF . 3e1 2e23 e1ke2，又 e1，e2是不共线的非零向量，33 ，2 k，因此 k2.实数k 的值为 2. 题点发散1在本例条件下，试确定实数k，使 ke1e2与 e1ke2共线解： ke1e2与 e1ke2共线，存在实数 ，使 ke1e2 (e1ke2)，即 ke1e2 e1ke2，k ，1k，解得 k 1. 题点发散2在本例条件下，如果AB e1e2， BC 3e12e2，CD 8e12e2，求证： A，C，D 三点共线证明： AB e1e2， BC 3e12e2，AC AB BC 4e1e2，又 CD 8e12e2，CD 2 AC ，AC 与 CD 共线又AC 与 CD 有公共点 C， A，C，D 三点共线类题通法 1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若 a，b 不共线，则 a b0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若 AB AC ，则 A，B，C 三点共线一、选择题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 46 页 - - - - - - - - - 1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a0( 为实数 )，则 必为零 ，为实数，若 a b，则 a 与 b共线其中错误的命题的个数为() A1B2 C3 D4 解析： 选 C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0 时，不论 为何值， a0. 错误，当 0 时， a b0，此时， a与 b 可以是任意向量故选C. 2已知向量a，b，c 中任意两个都不共线，但ab与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向量 abc () AaBbCcD0 解析： 选 D依题意，设abmc，bcna，则有 (ab)(bc)mcna，即 acmcna.又 a 与 c 不共线，于是有m 1，n 1，ab c，abc0，选 D. 3(2015 福建四地六校联考)已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OA BA ，则 () A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上解析： 选 B因为 2OP 2OA BA ，所以 2 AP BA ，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选B. 4设 D，E，F 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且 DC 2 BD ，CE 2 EA，AF 2 FB ，则 AD BE CF 与 BC() A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 46 页 - - - - - - - - - 解析： 选 A由题意得 AD AB BD AB 13BC ，BE BA AE BA13AC ，CF CB BF CB 13BA ，因此 AD BE CF CB 13( BC AC AB ) CB 23BC 13BC ，故 AD BE CF 与 BC 反向平行5在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 与 AC 相交于点F，若 EF m AB n AD(m， nR)，则mn的值为 () A 2 B12C2 D.12解析： 选 A设 AB a， AD b，则 EF manb， BE AE AB 12ba，由向量EF 与 BE 共线可知存在实数 ，使得 EF BE ，即 manb12 b a，又 a 与 b 不共线，则m ，n12，所以mn 2. 6设 O 在ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 OA OB 2OC 0，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为() A3 B4 C5 D6 解析： 选 B D 为 AB 的中点，则 OD 12( OA OB )，又 OA OB 2OC 0，OD OC ， O 为 CD 的中点，又 D 为 AB 中点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 46 页 - - - - - - - - - SAOC12SADC14SABC，则SABCSAOC4. 二、填空题7设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外， BC216，| AB AC | | AB AC |，则| AM |_. 解析： 由| AB AC | AB AC |可知， AB AC ，则 AM 为 Rt ABC 斜边 BC 上的中线，因此， | AM |12| BC |2. 答案： 2 8(2015 江门模拟 )已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点P 满足 PA BP CP 0，AP PD ，则实数 的值为 _解析： 如图所示，由AP PD 且 PA BP CP 0，则P 为以AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP 2 PD ，则 2. 答案： 2 9已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA，OB ，OC ， OD 满足等式 OAOCOBOD，则四边形ABCD 的形状为 _解析： OA OC OB OD ，OA OB OD OC ，BA CD ，BA 綊 CD，四边形 ABCD 为平行四边形答案： 平行四边形10已知 D，E，F 分别为 ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC a，CA b，给出下列命题：AD 12ab； BE a12b； CF 12a12b； AD BE CF 0. 其中正确命题的个数为_解析： BC a， CA b， AD 12CB AC 12ab，故错；BE BC 12CA a12b，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 46 页 - - - - - - - - - 故正确；CF 12( CB CA )12(ab)12a12b，故正确；AD BE CF b12aa12b12b12a0. 正确命题为 . 答案： 3 三、解答题11已知 a，b 不共线， OA a， OB b， OC c，OD d，OEe，设 tR，如果 3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由解： 由题设知， CD dc2b3a，CE ec(t3)atb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得 CE kCD ，即 (t3)atb 3ka2kb，整理得 (t33k)a(2kt)b. 因为 a， b不共线，所以有t33k0，t2k0，解之得 t65. 故存在实数t65使 C，D，E 三点在一条直线上12.如图所示， 在 ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， AE 23AD ， AB a， AC b. (1)用 a，b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2)求证： B，E，F 三点共线解： (1)延长 AD 到 G，使 AD 12AG ，连接 BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以 AG ab，AD 12AG 12(ab)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 46 页 - - - - - - - - - AE 23AD 13(ab)，AF 12AC 12b，BE AE AB 13(ab)a13(b2a)，BF AF AB 12ba12(b2a)(2)证明：由 (1)可知 BE 23BF ，又因为 BE ， BF 有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础盘查一平面向量基本定理(一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义(二)小题查验1判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底() (2)在 ABC 中，向量 AB ， BC 的夹角为 ABC() (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的() (4)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足 1a1b2a2b，则 12，12() 答案： (1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材复习题改编)设 M 是?ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点， 则 OA OB OC OD _OM . 答案： 4 基础盘查二平面向量的坐标运算(一)循纲忆知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 46 页 - - - - - - - - - 1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(二)小题查验1判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同() (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标() (3)已知点 A(2,1)，B(1,3)，则 AB (3,2)() 答案： (1)(2)(3)2(人教 A 版教材例题改编)已知 a(2,1)，b(3,4)，则 3a4b_. 答案： (6,19)基础盘查三平面向量共线的坐标表示(一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件(二)小题查验1判断正误(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2() (2)已知向量a(4，x)，b( 4,4)，若 ab，则 x 的值为 4() 答案： (1)(2)2O 是坐标原点，OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10，k)，当 k_时，A，B，C 三点共线？答案： 2 或 11 考点一平面向量基本定理及其应用| (基础送分型考点自主练透 ) 必备知识 平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底题组练透 1如果 e1，e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是() Ae1与 e1e2Be12e2与 e12e2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 46 页 - - - - - - - - - Ce1e2与 e1e2De13e2与 6e22e1解析： 选 D选项 A 中，设 e1e2 e1，则1 ，10，无解；选项 B 中，设 e12e2 (e12e2)，则 1，22 ，无解；选项 C 中，设 e1e2 (e1e2)，则 1，1 ，无解；选项 D 中， e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量2如图，在梯形ABCD 中，ADBC，且 AD13BC，E，F 分别为线段AD 与 BC 的中点设 BA a， BC b，试用 a，b 为基底表示向量EF ， DF ， CD . 解： EF EA AB BF 16ba12b13ba，DF DE EF 16b13ba 16ba，CD CF FD 12b16ba a23b. 类题通法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决考点二平面向量的坐标运算| (基础送分型考点 自主练透 ) 必备知识 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b(x1 x2，y1 y2); (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB (x2x1，y2y1)；(3)若 a(x，y)，则 a(x，y)； |a|x2y2. 题组练透 1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 46 页 - - - - - - - - - A(2， 1)B(2,1) C(1,0) D(1,2) 解析： 选 D12a12，12，32b32，32，故12a32b(1,2)2(2015 昆明一中摸底 )已知点M(5， 6)和向量a(1， 2)，若 MN 3a，则点N的坐标为 () A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0) 解析： 选 AMN 3a 3(1， 2)(3,6)，设 N(x， y)，则 MN (x5，y6)(3,6)，所以x53，y66，即x2，y0，选 A. 3已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设 AB a， BC b，CA c，且 CM 3c，CN 2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标解： 由已知得a(5，5)，b(6， 3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5， 5)(6， 3)3(1,8) (1563， 15324)(6， 42)(2) mbnc(6mn， 3m8n)，6mn5，3m8n 5，解得m 1，n 1.(3)设 O 为坐标原点， CM OM OC 3c，OM 3c OC (3,24)(3，4)(0,20) M(0,20)又CN ON OC 2b，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 46 页 - - - - - - - - - ON 2b OC (12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2)，MN (9， 18)类题通法 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解考点三平面向量共线的坐标表示| (题点多变型考点全面发掘 ) 必备知识 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.则 ab? x1y2x2y10. 一题多变 典型母题 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc) (2ba)，求实数k. 解(1)由题意得 (3,2)m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k) (5)(2k)0. k1613. 题点发散1在本例条件下，若d 满足 (dc)(ab)，且 |dc|5，求 d. 解： 设 d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得4 x4 2 y1 0，x42 y125，得x3，y 1或x5，y3.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 46 页 - - - - - - - - - d(3， 1)或 d(5,3)题点发散2在本例条件下，若manb 与 a2b 共线，求mn的值解： manb(3mn,2m2n)，a2b(5， 2)，由题意得 2(3mn)5(2m2n)0. mn12. 题点发散3若本例条件变为：已知A(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判断 A，B，C 三点能否共线解： AB (4,0)， AC (1， 1)， 4(1)010，AB ， AC 不共线 A，B， C 三点不共线类题通法 1向量共线的两种表示形式设 a(x1，y1)，b(x2，y2)： ab? a b(b0)； ab? x1y2x2y10.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用. 2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行 )，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组 )，求出未知数的值一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中， E 为 DC 边的中点，且 AB a，ADb，则 BE () Ab12aBb12aCa12bDa12b解析： 选 ABE BA AD DE ab12ab12a. 2已知平行四边形ABCD 中， AD (3,7)， AB (2,3)，对角线AC 与 BD 交于点 O，则 CO 的坐标为 () A.12，5B.12，5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 46 页 - - - - - - - - - C.12， 5D. 12， 5解析： 选 DAC AB AD (2,3)(3,7)(1,10)OC 12AC 12，5 . CO 12， 5 .故选 D. 3 在平面直角坐标系xOy 中， 四边形 ABCD 的边 ABDC， ADBC.已知 A(2,0)， B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为 () A(0， 2) B(4,2) C(16,14) D(0,2) 解析： 选 A设 D(x，y)，由题意知BD BA BC ，即(x6，y8)( 8， 8)(2， 2)(6， 10)，x66，y810，x0，y 2.故选 A. 4设向量a(1， 3)，b(2,4)，c(1， 2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d() A(2,6) B(2,6) C(2， 6) D(2， 6) 解析： 选 D设 d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c( 6,20)，2(ac)(4，2)，又 4a4b2c2(ac)d0，所以 (4，12)( 6,20)(4， 2)(x，y) (0,0)，解得 x 2，y6，所以 d( 2，6)5已知向量OA (1，3)， OB (2，1)， OC (k1，k2)，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是() Ak 2 Bk12Ck1 Dk1 解析： 选 C若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量 AB ， AC 共线，AB OB OA (2， 1)(1，3)(1,2)，AC OC OA (k1，k2)(1， 3)(k，k1)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 46 页 - - - - - - - - - 1(k1)2k0，解得 k1. 6(2015 山西四校联考 )在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上， 且 BC 3CD ，点 O在线段 CD 上(与点 C，D 不重合 )，若 AO x AB (1x) AC ，则 x 的取值范围是 () A. 0，12B. 0，13C.12，0D. 13，0解析： 选 D依题意， 设 BO BC ，其中 1 43，则有 AO AB BO AB BC AB ( AC AB )(1 ) AB AC . 又 AO xAB (1x) AC ，且 AB ， AC 不共线，于是有x1 13，0 ，即 x 的取值范围是13，0 . 二、填空题7设 e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，b e1e2，则向量 e1e2可以表示为另一组基向量a，b 的线性组合，即e1e2_a_b. 解析： 由题意，设e1e2manb. 因为 a e12e2，b e1e2，所以 e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2. 由平面向量基本定理，得mn1，2mn1，所以m23，n13.答案：23138已知两点A(1,0)，B(1,1)，O 为坐标原点， 点 C 在第二象限，且AOC135 ，设 OC OA OB( R)，则 的值为 _解析： 由 AOC135 知，点 C 在射线 yx(x0)上，设点C 的坐标为 (a， a)，a0，则有 (a， a)(1 ， )，得 a1 ，a ，消掉 a 得 12. 答案：12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 46 页 - - - - - - - - - 9在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP 2 PC ，点 Q 是 AC 的中点，若PA (4,3)，PQ(1,5)，则 BC _. 解析： AQ PQ PA ( 3,2)，AC 2 AQ ( 6,4)PC PA AC (2,7)，BC 3 PC (6,21)答案： (6,21) 10(2015 九江模拟 )Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1， 2)n(2,3)，nR 是两个向量集合，则PQ 等于 _解析： P 中， a(1m,12m)，Q 中， b(12n，23n)则1m12n，12m 23n.得m12，n 7.此时 a b(13，23)答案：13， 23三、解答题11已知 a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a 3b|；(2)当 k 为何实数时， kab与 a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解： (1)因为 a(1,0)，b(2,1)，所以 a3b(7,3)，故|a3b|723258. (2)kab(k2， 1)，a3b(7,3)，因为 kab与 a3b平行，所以 3(k2)70，即 k13. 此时 kab(k2， 1) 73， 1 ，a3b(7,3)，则 a3b3(kab)，即此时向量a3b与 kab 方向相反名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 46 页 - - - - - - - - - 12已知点O 为坐标原点， A(0,2)，B(4,6)， OM t1OA t2AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2为何实数， A，B，M 三点共线解： (1) OM t1OA t2AB t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 当点 M 在第二或第三象限时，有4t20，2t1 4t20，故所求的充要条件为t20 且 t12t20. (2)证明：当t11 时，由 (1)知 OM (4t2,4t22)AB OB OA (4,4)，AM OM OA(4t2,4t2)t2(4,4)t2AB ， A，B， M 三点共线第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础盘查一平面向量的数量积(一)循纲忆知1理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系(二)小题查验1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量() (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量() (3)两个向量的夹角的范围是0，2() 答案： (1)(2)(3)2(人教 A 版教材例题改编)已知 |a|5，|b|4，a与 b 的夹角 120 ，则 a b_ 答案： 10 基础盘查二平面向量数量积的性质及其坐标表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 46 页 - - - - - - - - - (一)循纲忆知1掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(二)小题查验1判断正误(1)由 a b0，可得 a0 或 b0() (2)两向量 ab 的充要条件： a b0? x1x2y1y20() (3)若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若a b0，则 a 和 b 的夹角为钝角 () 答案： (1)(2)(3)2(人教A 版教材复习题改编)已知 |a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为30 ，则 |ab|_. 答案： 1 3已知向量a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数x 等于 _答案： 9 基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算(二)小题查验1判断正误(1)(a b) ca (b c)() (2)a ba c(a0)，则 bc() 答案： (1)(2)2(人教 A 版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60 ，则向量a2e1e2与 b2e23e1的夹角为 _答案： 150考点一平面向量的数量积的运算| (基础送分型考点自主练透 ) 必备知识 1平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为 ，把数量 |a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积 (或内积)，记作 a b.即 a b|a|b|cos ，规定 0 a0. 2向量数量积的运算律名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 46 页 - - - - - - - - - (1)a bb a. (2)( a) b (a b)a ( b)(3)(ab) ca cbc. 3平面向量数量积的几何意义数量积 a b 等于 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积提醒 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量题组练透 1(2015 云南统一检测 )设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b 与 2ab 平