2022年指数函数定义域及值域文 .pdf

一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+(23x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(2 3x)0，故 3+(23x)3。函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性， （2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=x(0 x 5)的值域。（答案：值域为： 0，1，2，3，4，5 ）二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为 :x=(12y)/（y1） ,其定义域为y1 的实数 ,故函数 y 的值域为 yy 1,yR 。点评： 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习： 求函数 y=(10 x+10-x)/(10 x 10-x)的值域。 （答案： 函数的值域为 yy1 ）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例 3：求函数y= (x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由 x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时 x2+x+2=（x1/2）29/40， 9/4 0 x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x5 154x 的值域 .(答案 :值域为 y y3) 四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。点拨： 将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （）当 y 2 时 ,由=(y2)24（y2）x+(y 3)0，解得： 2 x10/3 当 y=2 时,方程 ()无解。函数的值域为2y10/3 。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b (cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域为y 8 或 y0） 。五最值法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 对于闭区间 a,b上的连续函数y=f(x),可求出 y=f(x)在区间 a,b内的极值 ,并与边界值f(a).f(b)作比较 ,求出函数的最值,可得到函数y 的值域。例 5 已知 (2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： 3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30 同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将 y=1-x代入 z=xy+3x中，得 z=-x2+4x(-1x3/2), z=-(x-2)2+4 且 x-1,3/2, 函数 z在区间 -1,3/2 上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z= 5；当 x=3/2 时， z=15/4。函数 z 的值域为 z 5z15/4 。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 x 为实数，则函数y=x2+3x-5 的值域为（）A （，）B 7， C0，）D5，）（答案： D） 。六图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例 6 求函数 y=x+1+(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为2x+1 (x 1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示。显然函数值y3,所以，函数值域3， 。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、 换元法等方法求函数的值域。七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x 1-3x(x1/3) 的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设 f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x 1-3x 在定义域为x1/3 上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为y|y4/3 。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x 的值域。 (答案： y|y 3) 八换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x-3+2x+1 的值域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 点拨： 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t=2x+1 （t0） ,则x=1/2(t2-1) 。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4 1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y 7/2 。点评： 将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x 的值域。（答案：y|y 3/4九构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成12 个单位正方形。设HK=x,则 ek=2-x,KF=2+x,AK= (2-x)2+22 , KC= (x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5。当 A、K、 C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y 5 。点评：对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c 均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=x2+9 +(5-x)2+4 的值域。（答案：y|y 52 ）十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数， 进而求出原函数的值域。例 4 已知 x,yR，且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得， (x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数 ) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=3/5 时， x=3/5,y= 4/5 时， zmin=1。函数的值域为z|z1. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x,yR，且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。（答案：f(x,y)|f(x,y) 1 ）十一利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1) 的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解： y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0，故 y3。函数 y 的值域为y 3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x 1)的值域。（答案： y2）十二不等式法例 6 求函数 Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知x/(1-x)0 1-x0 解得， 0 x1 或 y0）注意变量哦 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -