2022年抽象函数题型专题学生版 .pdf

第 1 页 共 6 页专题 抽象函数一. 定义域问题-多为简单函数与复合函数的定义域互求。例 1. 若函数 y = f（ x）的定义域是 2，2 ，则函数 y = f（x+1）+f （x1）的定义域为。练习：已知函数f(x)的定义域是2, 1，求函数xf3log21的定义域。例 2：已知函数xf3log的定义域为 3 ，11 ，求函数 f(x) 的定义域。11log, 13评析 ： 已知函数xf的定义域是A，求函数f(x) 的定义域。相当于求内函数x的值域。二、求值问题 -抽象函数的性质是用条件恒等式 给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值 ?需要明确目标 ,细心研究 ,反复试验 ;例 3. 对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_. 练习：1.f(x) 的定义域为(0,)，对任意正实数x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则( 2)f2.的值是则且如果)2001( f)2000(f)5(f)6(f)3(f)4(f) 1(f)2(f, 2) 1 (f),y(f )x(f)yx(f。2(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff. 3、对任意整数yx,函数)(xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1) 1 (f，则)8(fA.-1 B.1 C. 19 D. 43 4、函数 f(x) 为 R 上的偶函数，对xR都有(6)( )(3)f xf xf成立，若(1) 2f，则(2005)f=（）A . 2005 B. 2 C.1 D.0 三、值域问题例 4. 设函数 f(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx, 使得)()(21xfxf，求函数 f(x)的值域。四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x) 例 6、设对满足x0,x 1 的所有实数x，函数 f(x) 满足 ,xxxfxf11 , 求 f(x) 的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 6 页例 7.已知 f(x) 是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 例 8.是否存在这样的函数f(x), 使下列三个条件: f(n) 0,n N; f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N* ; f(2)=4 同时成立 ?若存在 ,求出函数 f(x) 的解析式 ；若不存在，说明理由. 例9、已知)(xf是定义在 R上的偶函数， 且)21()23(xfxf恒成立， 当3, 2x时，xxf)(，则当)0, 2(x时，函数)(xf的解析式为（）练习：1、.232| )x(f:|,x)x1(f 2)x(f),)x(f ,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设2. （2006 重庆）已知定义域为R 的函数 f(x) 满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解 析表达式。3、函数 f( x) 对一切实数x,y 均有 f( x+y)- f(y)=( x+2y+1) x 成立，且 f(1)=0 ，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有 f( x1)+20 时 f(x)0 时，f(x)1,且对于任意实数x、y， 有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x)在 R上为增函数。例11 、 已 知 偶 函 数f(x) 的 定 义 域 是x 0的 一 切 实 数 ， 对 定 义 域 内 的 任 意x1, x2都 有1212()()()fxxfxfx，且当1x时( )0,(2)1f xf，（1）f( x) 在(0,+ ) 上是增函数；（2）解不等式2(21)2fx练习：已知函数f(x) 的定义域为R，且对m、nR, 恒有f(m+n)=f(m)+f(n) 1, 且f( 21)=0, 当x21时，f(x)0. 求证：f(x) 是单调递增函数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 6 页)293()3xxxf例 12、定义在R+上的函数 f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证 :f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立 ; (2)证明 f(x) 是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围 . 练习 1、 定义在 R 上的函数 y=f（ x），f（0） 0，当 x0 时， f（x）1，且对任意的a、bR，有 f（a+b）=f（a） f（ b）. （1）求证： f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有 f（x） 0；（3）求证： f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x）f（2xx2） 1，求 x 的取值范围 . 练习 3. 设 f （x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当 a+b0，都有babfaf)()( 0 （1）. 若 ab，试比较f （a）与 f （b）的大小；（2）. 若 f （k 0对 x 1，1 恒成立，求实数k 的取值范围。练习 4、已知函数f(x) 对任何正数x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x) 0,当 x1 时,f(x)un(nN*). 2. 定义域为 R的函数 f(x) 满足：对于任意的实数x，y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0时f(x) 0恒成立 .(1)判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明 f(x) 为减函数；若函数f(x)在 -3，3）上总有 f(x) 6成立，试确定 f(1)应满足的条件；)0a,n(),a(f)xa(fn1)x(f)ax(fn1x) 3(22是一个给定的自然数的不等式解关于3、已知 f(x)是定义在 1，1上的奇函数，且f(1)=1,若 a,b 1,1,a+b0 时，有babfaf)()(0. (1)判断函数 f(x)在 1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式： f(x+21)f(11x); (3)若 f(x)m22pm+1 对所有 x 1,1,p 1,1(p是常数）恒成立，求实数m 的取值范围 . .七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1 axfaxfT=2aaxfaxf对称轴axy f x a是偶函数；axfaxf对称中心（ a,0 ）y f x a是奇函数2 xbfxafT=abxbfxaf对称轴2bax；xbfxaf对称中心)0,2(ba；3 f(x)= -f(x+a)T=2af(x)= -f(-x+a)对称中心0 ,2a4 xbfxafT=2abxbfxaf对称中心0 ,2ba5 f(x)=xf1T=2af(x)= b-f(-x+a)对称中心2,2ba6 f(x)=1-0)(1xfaxfT=3a结论： (1)函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 6 页(2)函数图象关于点M(a,0) 和点 N(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3)函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4）应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x) 与 y=f(b-x) 关于2abx对称； y=f(a+x) 与 y=-f(b-x) 关于点)0,2(ab对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）例 17：已知定义在R上的奇函数f (x) 满足f (x+2) = f (x)，则f (6) 的值为（）函数 f(x) 对于任意的实数x 都有 f(1+2x)=f(1-2x) ， 则 f(2x) 的图像关于对称。（x=1/2）练习： （2010 重庆） 已知函数fx满足：114f，4,f x fyf xyf xyx yR，则2010f=_. 例 18. 已知函数 y=f(x)满足2002)()(xfxf，求xfxf200211的值。例 19.奇函数f (x) 定义在 R上，且对常数T 0 ，恒有f (x + T ) = f (x) ，则在区间 0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（）例 20f(x)满足 f(x) =-f(6-x) ，f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000) ，a5，9且 f(x) 在5，9上单调。求 a 的值。设 y=f(x)是定义在 -1,1上的偶函数， 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x) 的图象关于直线x=1 对称，且当 x 2,3时， g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且 a R) （1）求 f(x); （2）是否存在a 2,6或 a(6,+ ), 使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12 上？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 练习 1、函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图象关于x=1 对称。2、函数)(xfy满足)(1)3(xfxf，且1)3(f，则)2010(f-1 。3、函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且11()()22fxfx,则(1) (2)(3)(4)(5)fffff4、已知函数(21)yfx是定义在R 上的奇函数，函数( )yg x是( )yf x的反函数，若120 x x则12()()g xg x（）A）2 B）0 C）1 D）-2 5.设 f(x)是 R 的奇函数 ,f(x+2)= f(x),当 0 x1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= - 0.5 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3, 则 f-1(x)+f-1(3-x)= .0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页7、f（x）是定义在R上的以 3 为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（）8、设函数 f(x)的定义域为 1,3,且函数 f(x)的图象关于点 (2,0) 成中心对称 , 已知当 x 2,3时f(x)=2x, 求当 x 1,2时,f(x)的解析式 . 9、（ 09 山东）已知定义在R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数 ,若方程 f(x)=m(m0) 在区间8 , 8上有四个不同的根1234,x xx x,则1234_.xxxx八、综合问题例 21.设定义在 R 上的函数 f(x), 满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意x,yR,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 . 1)2(f)3x(f21)x(f )2( ; , 4)xx3(f) 1(22解方程解不等式特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或)y(f)x(f)yx(f 指数函数f(x)=ax(a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) )y(f)x(f)yx(f或对数函数f(x)=logax (a0 且 a 1) f(xy)=f(x)+f(y) )y(f)x(f)yx(f或正、余弦函数f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数f(x)=tanx )y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -