高中必修四三角函数知识点总结.docx

精品名师归纳总结§04. 三角函数 学问要点1. 与（ 0° 360 °） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|k360, kZ3sinxy2sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合：|k180|k180, kZ90 , kZ4cosxcosx 11cosxxcosx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在坐标轴上的角的集合：终边在 y=x 轴上的角的集合：|k90 , k|k180Z45 , kZsinxsinx23SIN COS三角函数值大小关系图1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 yx 轴上的角的集合：|k18045 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 x 轴对称,就角与角的关系：如角与角的终边关于 y 轴对称,就角与角的关系：如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：360 k360 k180180 k角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k902. 角度与弧度的互换关系：360 °=2180 °=1° =0.01745 1=57.30 ° =57 ° 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、弧度与角度互换公式：1rad 180 ° 57.30°=57 ° 181°1800.01745（ rad）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、弧长公式： l| r .扇形面积公式：s扇形1 lr1 | r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224、三角函数：设是一个任意角,在的终边上任取（异于ya的终边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原点的）一点 P（x,y ） P 与原点的距离为r ,就siny 。rP（ x,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosx 。tanry。xcotx 。sec yr 。.xcscr .ryox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦,三切四余弦）Tyyyy+-+-+P-oxo + xox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-+-OMA x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦、余割余弦、正割正切、余切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、三角函数线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.16. 几个重要结论:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) y(2)y|sinx|>|cosx|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 三角函数的定义域：sinx>cosxOxcosx>sinx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|sinx|>|cosx|三角函数f xf xsinx cosx3 如 o<x<2 ,就sinx<x<tanx定义域x | xRx | xRf xtanxx | xR且 xk1, kZ2f xcotxx | xR且xk, kZf xsecxx | xR且 xk1, kZ2f xcscxx | xR且xk, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、同角三角函数的基本关系式：sin costanc o s s i nc o t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan sin 2cot1cos2csc 1sin2sec12tans ec 1c o s csc21cot 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、诱导公式：k把的三角函数化为的三角函数,概括为：2“奇变偶不变,符号看象限”应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弧长公式同角三角函数的基本关系式诱导应用公式运算与化简证明恒等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意角的概念应用角度制与弧度制任意角的三角函数三角函数的图像和性质应用已知三角函数值求角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和角公式倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用应用差角公式应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数的公式： （一）基本关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组一公式组二公式组三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx·cscx=1tanx=sin x22sin2kxsin xs i n xs i nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosx· secx=1cos x cos xx=sin xsin x+cos x=11+tan2 x =sec2 xcos2k tan2kxcos xxtan xc o sxt a n xc o sxt a nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanx·cotx=11+cot2 x=csc2xcot2kxcot xc o t xc o xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组四公式组五公式组六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxcosxsin x cosxs i n2 c o s2xs i nxxc o sxs i n xc o sxs i nxc o sx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanxtan xt a n2xt a nxt a n xt a nxcotxcot xc o t2xc o xtc o t xc o tx（二）角与角之间的互换公式组一公式组二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos coscoscoscos cossin sinsin sins i n2c o 2s2 s i nc o 2sc o ss i n22 c o 2s112 s i n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossint a n22 t a n1t a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sintansintancostancossinsi n 2cos1c o s 21cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantantan1cossin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 tantan2 1cos1 cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组三公式组四公式组五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 tan2sincoscossin1 sin21 sinsinsincos 12sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan 221tan 22cos sincos sin21 cos 21 coscos cossin 12tan 12coscot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结costan1 tan 222 tan2sin sincossin sincos22 sin22 cos22 coscos2sin2coscos 12tan 12sincot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan22coscos22sin22sin2sin 12cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 15cos 7562 , sin 754cos1562 , tan 154cot 7523 , tan 75cot 1523 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscos sin令sin22sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsin令cos2cos2sin22cos2112sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantancos2 1+cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 22 tan1tan2sin1cos222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2.正、余弦定理：在 ABC中有 :abc正弦定理：2R （ R为 ABC 外接圆半径）sin Asin Bsin Cs i nAa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2 Rsin Ab 2 Rsin Bc 2 Rsin C2Rs i nBb 2Rs i nCc 2R留意变形应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积公式： S1 abs sin C1 ac sin B1 bc sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC2222c o sAbc2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理：a2b2c2b2a2c2c2a2b22bc cosA 2accosB2abcosCc o sB2bca 2c 2b 22ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c o sCa 2b 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ab10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：ysin xycosxytan xycot xyA sinx（ A 、 0）定义域RRx | xR且xk12, kZx | xR且xk, kZR值域1,11,1RRA, A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当当0, 非奇非偶0, 奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2k1, 。k,kk , k1上为减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k,22k22数（ kZ ）2k2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k2上 为 增 函数。上 为 增 函数 2k,2k1上 为 增 函 数（ kZ ）2k12A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性2k, 2上 为 减 函数上为增函数。2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32k2（ kZ ）2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 为 减 函2k32A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（ kZ ）上 为 减 函 数（ kZ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：ysin x 与ysin x 的单调性正好相反。ycosx 与ycosx 的单调性也同样相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反.一般的,如 yf x 在a, b 上递增（减） ,就 yf x 在 a, b 上递减（增） .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x与 ycosx的周期是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 或 ycos x （0 ）的周期 T2.xO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytan x 2的周期为 2（ TT2,如图,翻折无效）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 的对称轴方程是 xk（ kZ ）,对称中心（2k,0 ）。 yoscx 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴方程是xk （ kZ ）,对称中心（ k1,0 ）。y 2antx 的对称中心（ k2,0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos 2x原点对称ycos2 xcos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 tan·tan1,k k2Z 。 tan·tan1,k k2Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ycosx 与 ysinx2k 2是同一函数 ,而 yx 是偶函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxsinxk1cos 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数ytan x在 R 上为增函数 .（ ×） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytan x为增函数,同样也是错误的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域关于原点对称是f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件： 一是定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域关于原点对称（奇偶都要）,二是满意奇偶性条件,偶函数：f xf x,奇函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 义域不关于原点对称）ytan x 是奇函数, ytan x1 是非奇非偶 .（定3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数特有性质：如0x 的定义域,就f x 肯定有f 00 .（ 0x的定义域,就无此性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质）yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 不是周期函数。ysin x为周期函数（ T）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos x 是周期函数（如图） 。ycosx为周期函数（ T）。y= cos|x| 图象x1/2xy=|cos2x+1/2|图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos 2x1 的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x5f xk , kR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ya cosb sina 2b 2sincosb有a 2b2y . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线） ,三点二线作图法（正、余切曲线） .）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y Asin（ x ）的振幅 |A| ,周期 T2 ,频率 f1| ,相位x; 初相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|T2（即当 x0 时的相位）（当 A 0, 0 时以上公式可去肯定值符号） ,由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长 （当 |A| 1）或缩短 （当 0 |A|1）到原先的 |A|倍,得到 y Asinx 的图象, 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长 （ 0 | | 1）或缩短（ | | 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到原先的| 1 | 倍,得到 y sin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向左 （当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位, 得到 y sin（ x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向上 （当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位, 得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+-b 替换 y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（ A 0, 0）（ x R）的图象, 要特殊留意： 当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区分。4、反三角函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y sinx, x,的反函数叫做 反正弦函数 ,记作 y arcsinx,它的定义域是 1,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,值域是 , 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y cosx,（x 0, ）的反应函数叫做反余弦函数 ,记作 y arccosx,它的定义域是 1, 1,值域是 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 ytanx, x,的反函数叫做 反正切函数 ,记作 y arctanx,它的定义域是 （2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,）,值域是,2 2函数 yctgx, x（ 0,）的反函数叫做 反余切函数 ,记作 y arcctgx,它的定义域是（,） ,值域是（ 0, ）II.竞赛学问要点一、反三角函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 反三角函数： 反正弦函数yarcsinx 是奇函数, 故 arcsinxarcsin x ,x1,1（一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定要注明定义域,如x,没有 x 与 y 一一对应,故ysinx 无反函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： sinarcsin xx , x1,1, arcsin x,.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反余弦函数yarccos x 非奇非偶,但有arccos xarccosx2k, x1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：cosarccos xx , x1,1 , arccos x0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ycos x 是偶函数,yarccosx非奇非偶,而ysin x和yarcsinx 为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反正切函数：yarctan x ,定义域 , ,值域（,）, y22nactrx 是奇函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arctanxarctan x , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： tanarctan xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反余切函数：yarc cot x ,定义域 , ,值域（,）, y22acrcotx 是非奇非偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arccotxarc cot x2k, x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：cot arc cot xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yarcsin x 与 yarcsin1x 互为奇函数,yarctanx 同理为奇而yarccosx 与 yarc cot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结非奇非偶但满意arccos xarccos x2k , x1,1arc cot xarc cotx2k , x 1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范畴解集a 的取值范畴解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin xa 的解集 cos xa 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 1a =1x | x2ka r c s ai ,nkZa =1x | x2karccosa, kZa 1x | xk1 k arcsin a, kZa 1x | xkarccosa, kZ tan xa 的解集：x | xkarctan a, kZ c o txa 的解集：x | xkar c o ta,kZ二、三角恒等式 .组一coscos 2cos 4. cos2nsin 2n12 n 1 sinsin 3cos33 sin4 sin 34cos 33 cossin 2cos2sin 2cos2sinsin组二ncoscoscoscoscossink 12k2482nn2 sinn2ncosxkdcos xcosxd cosxnd sin nk 01d cosxnd sin dnsin xkdsin xsin xdsin xnd k 0sin n1d sin xnd sin dtantan1tantantantantantantantantantantan组三 三角函数不等式sin x x tan x, x0,2f xsin xx在 0, 上是减函数如 ABC,就 x 2y 2z 22 yz cos A2xz cos B2xy cos C积化和差sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 和差化积sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2 sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2 cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2我们背公式时往往要么不是死记硬