初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载初三数学弧长和扇形面积公式学问精讲一.本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使同学学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特点，使同学把握圆锥的轴截面图及其特点。2. 使同学把握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面绽开图的画法及侧面积运算公式。3. 使同学比较娴熟的应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的运算问题。4. 培育同学空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培育同学空间想象才能和运算才能。教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特点，圆锥的侧面积运算难点是圆锥侧面绽开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长： C2r圆面积： Sr 22. 圆的面积 C 与半径 R 之间存在关系C2 R ，即 360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角2 R所对的弧长就是。360n°的圆心角所对的弧长是n R180nRlP120180*这里的 180、n 在弧长运算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发觉：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在半径是 R 的圆中，由于 360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR 2 ，所以圆心角为n°可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的扇形面积是：n R 2S扇形1 lR（ n 也是 1°的倍数，无单位）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结36025. 圆锥的概念观看模型可以发觉：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，假如把这个侧面绽开在一个平面上，绽开图是一个扇形。如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段 SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载顶点。锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线 SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴， 圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。 另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1 、SA2 、都叫做圆锥的母线，明显，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226. 圆锥的性质由图可得（ 1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心。（ 2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面绽开图与侧面积运算圆锥的侧面绽开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。假如设扇形的半径为l ，弧长为 c，圆心角为n（如图），就它们之间有如下关系：cnl180同时，假如设圆锥底面半径为r ，周长为 c，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S圆侧面1 clrl2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆锥的全面积为：r lr 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱侧面积：2 rh 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：在中， 120°的圆心角所对的弧长为答案： 12080cm ，那么 O的半径为 cm。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由弧长公式：l得：180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R180l18080120cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如扇形的圆心角为120 °，弧长为 。答案： 15。2510 cm，就扇形半径为 ，扇形面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：假如一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2 倍，这个扇形的中心角为 。答案： 90°2例：已知扇形的周长为28cm，面积为 49cm ，就它的半径为 cm。答案： 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：两个同心圆被两条半径截得的AB10， CD6，又 AC=12，求阴影部分面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 设 OC=r，就 OA=r+12， O=n°ln r1210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABln r1806可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD180n60r18 OC=18，OA=OC+AC=30S阴S扇AOBS扇COD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 lOA2 AB1 lOC2 CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1102963016182可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 正方形边长为a2121a 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S正a ， S半圆R 2a228S正方形2S半圆S两个空白处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S两个空白处a221a 2a281a24S四个空白处2S2个空白2a21a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴S正S四个空白处a 22a21a2 21a22a2叶的总面积为12a2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*也可看作四个半圆面积减去正方形面积S阴4S半S正1a 224a221a2a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知 AB、CD为 O的两条弦，假如AB=8，CD=6， AB 的度数与 CD 的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？解： 将弓形 CD旋转至 B，使 D、B 重合 如图， C点处于 E 点ABE 的度数为 180° ABE=90°又 AB=8， BE=CD=6221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由勾股定理AE8610半径 OA1052可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴S半圆1S ABE252186252422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AE是 O的直径 ABE=90°又 AB=8， BE=CD=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由勾股定理AE826210半径 OA11052可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴S半圆1S ABE252186252422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例：在 AOB中， O=90°， OA=OB=4c，m 以 O 为圆心， OA为半径画 AB ，以 AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。解： OA=4cm， O=90°可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S扇形 AOB904 23604 cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB42cm222 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S AOB8 cm ， S半圆4 cm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSS 48cm 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弓形 AmB扇形 AOBAOB就阴影部分的面积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴影S半圆S弓形 AmB4488cm 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：、m 是边长均大于2 的三角形，四边形、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以 1 为半径画弧与两邻边相交，得到3 条弧， 4 条弧，（ 1）图中 3 条弧的弧长的和为 图中 4 条弧的弧长的和为 （ 2）求图 m 中 n 条弧的弧长的和（用n 表示）解：（ 1）， 2（ 2）解法 1： n 边形内角和为： （n 2） 180°可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前 n 条弧的弧长的和为：n21803601 n22 个以某定点为圆心，以1 为半径的圆周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 条弧的弧长的和为：211 n22n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2： 设各个扇形的圆心角依次为1 ,2 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就12nn2180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n 条弧长的和为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1118021180n1180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1180n1802n 2180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2例：如图，在Rt ABC中，已知 BCA=90°， BAC=30°， AC=6m，把 ABC以点 B 为中心逆时针旋转，使点 C 旋转到 AB边的延长线上的点C' 处，那么 AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？分析： 在 Rt ACB中， C=90°， BAC=30°， AB=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC1 AB23,CBA60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACAB 2BC 233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一： SA 'C'B1BC ' A ' C'2193333222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S扇 A 'BAnr 2120612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S扇形 C 'BCS阴影36012032360S扇A 'BAS3603A 'C' BS扇C' BCS ACB9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二：以 B 为圆心， BC为半径画弧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载交 A'B 于 D，AB 于 D'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 S A 'C'BS ACB ， S扇C'BDS扇CBD '可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S阴S扇ABA 'S扇D ' BD12062360120321239360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如图， 已知 Rt ABC的斜边 AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线 AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。假如以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： BC1325212cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以直线 AC为轴旋转一周所得的圆锥如下列图，它的表面积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S表S底S侧1221213300 cm 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以直线 AB为轴旋转一周，所得到的图形如下列图。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 CD132CD601315122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SS上S下CDBCCDAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结60121360171310201360513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，就这块图形铁皮的半径为 。答案： 6例：如圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，就这个圆锥的侧面积是 。答案： 2例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，就它的侧面绽开图的圆心角为 。答案： 160°例：如圆锥的侧面积是底面积的2 倍，就侧面绽开图的圆心角是 。答案： 180°例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长 50cm。（ 1）画出它的绽开图。（ 2）运算这个绽开图的圆心角及面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载解：（ 1）烟囱帽的绽开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设扇形的半径为l ，弧长为 c，圆心角为，就l =50cm， c 180cl80 cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cl1801808050=288（度）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S扇形rl40506280cm 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：一个圆锥的高是10cm，侧面绽开图是半圆，求圆锥的侧面积。解： 设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为l ，扇形弧长（即半圆）为c，就由题意得c2l , c2 r2即 2l2 r ,l2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 Rt SOA中， l 2r 2102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此求得 r1033cm, l2033cm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求圆锥的侧面积为S圆侧面rl103320332003cm 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：蒙古包可以近似的看作圆锥和圆柱组成，假如想用毛毡搭建20 个底面积为9 m 2 ，高为 3.5m，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外围高 4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：Sr 2 ,9r 2 ,r3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 h1=4， lhr 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1SS锥S柱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rl2 rh35233.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结152136S总2036720可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： 至少要 720平方米的毛毡。【模拟试题】基础演练1. 已知扇形的弧长为6 cm，圆心角为60°，就扇形的面积为 。2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，就这个弓形的面积是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图，在平行四边形ABCD中， AB43 ， AD23 ，BD AD，以 BD为直径的 O交 AB于 E，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交 CD于 F，就图中阴影部分的面积为 。4. 如图， AB是 O1 的直径， AO1 是 O2 的直径，弦MN/AB，且 MN与 O2 相切于 C 点，如 O1 的半径为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载2，就 O1B、 BN 、CN、 O 1C 所围成的阴影部分的面积是 。5. 如图， ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，方案在住宅区四周5m内，（虚线以内， ABC之外）作绿化带，就此绿化带的面积为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的AB就图中阴影部分的面积为 。6 cm ， CD10 cm ， O' 与 AB ， CD 都相切，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合测试7. 如图， OA是 O的半径， AB是以 OA为直径的 O的弦， OB 的延长线交 O于点 C，且 OA=4， OAB=45°，就由 AB ， AC 和线段 BC所围成的图形面积是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120°， AB 长为 30cm，贴纸部分BD长为 20cm，贴纸部分的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.8003C.800cm 2cm 2500B.3D.500cm 2cm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4， AOB=120°，就阴影部分的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 4B.2C.4D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻动（如图），那么， B 点从开头至终止所走过的路径长度为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3B.24C. 4D.2332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. （2004·湖北黄冈）如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？探究升级12. （ 2004·新疆）在相距40km的两个城镇A、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到 B 城，假设除湖泊外，全部的的方均可行走，有 如下列图两种行走路线，请你通过推理运算，说明哪条路线较短。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）的路线：线段ACCD线段 DB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）的路线：线段AEEF线段 FB（其中 E、F 为切点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载 参考答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.27cm 2322.a64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.1525. 2533400m 24.126.60312cm 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结57.323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. A9. B10. B11. 截法如下列图BO4O3OO1O2A依据圆的对称性可知：O1 ，O3 都在 O 的直径 AB上，设所截出的凳面的直径为r就 O1 O2 =r ， O2O3=r ， O 1O 32r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又O1O 3ABO1AO 3 B50r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2r50r ,21r50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r502120.7cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 由题意可知图答（1