微积分(第四版)(曹定华)(修订版)课后题规范标准答案第六章习题集详解.doc

!-第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y=x+1,直线x=a，x=b（a<b）及x轴所围成的图形的面积.解 因y=x2+1在a,b上连续,所以x2+1在a,b上可积,从而可特殊地将a,bn等分,并取,于是故面积 2. 利用定积分的几何意义求定积分：(1) ; (2) （a0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 表示由直线y=2x,x=0,x=1及x轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以=1.(2)根据定积分的几何意义知,表示由曲线及x轴所围成的圆的面积,而此圆面积为,所以.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1) 与； (2) 与.解 (1)当时,即,又,所以.(2)令,因,所以,从而,说明,又1+x.所以.4. 估计下列各积分值的范围：(1) ； (2) ;(3) （a0)； (4) .解 (1)在区间1,4上,函数是增函数,故在1,4上的最大值,最小值,所以,即 .(2)令,则,当时,从而在上是增函数,从而f(x)在上的最大值,最小值,所以即 .(3)令,则,令得驻点x=0,又，,a>0时, ,故在-a,a上的最大值M=1,最小值,所以.(4)令,则,令得驻点,又,从而在0,2上的最大值,最小值,所以,而 ,故 .习题6-21. 求下列导数：(1) ; (2) ；(3) ; (4) (x0).解 2. 求下列极限：(1) ; (2) ; (3) .解 3. 求由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数.解 方程两边对x求导数得: , .又由已知方程有,即即,于是有.4. 当x为何值时，I(x)= 有极值?解 ,令得驻点,又,所以当x=0时,I(x)有极小值,且极小值为I(0)=0.5. 计算下列定积分：(1) ; (2) ;(3) ,其中 (4) .解 (4)由于,于是6. 已知f(x)连续，且f(2)=3,求.解 .习题6-31. 计算下列积分：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) .解 (7)令x=tant,则dx=sec2tdt,当x=1时,;当时,于是 .(8)令,则,当x=0时,t=0;当时,于是 .(9)令,则,当时,;当时,于是 .(11)令,则,当x=1时,t=1;当x=2,t=;于是 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1) (a为正常数)；(2) ; (3) .解 是奇函数.是奇函数.是偶函数.3. 证明下列等式：(1) (a为正整数)；(2)证明： (x0)；(3) 设f(x)是定义在(-，+)上的周期为T的连续函数，则对任意a，），有.证 (1)令x2=t,则,当x=0时,t=0;当x=a时,t=a2,于是 即 .(2)令则,即 .4. 若f(t)是连续函数且为奇函数，证明是偶函数；若f(t)是连续函数且为偶函数，证明是奇函数.证 令.若f(t)为奇函数,则f(-t)=- f(t),从而,所以是偶函数.若f(t)为偶函数,则f(-t)=f(t),从而,所以是奇函数.5. 设f(x)在(-，+)内连续，且F(x)= ,试证：若f(x)单调不减，则F(x)单调不增.证 ,其中在x与0之间.当x>0时,x>,由f(x)单调不减有,即;当x<0时,> x,由f(x)单调不减有,即;综上所述知F(x)单调不增.习题6-41. 计算下列定积分：(1) ; (2);(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ；(9) ; (10) .解 (1) .故.故 .2. 已知f(2)= ,f(2)=0, ,求.解 3. 利用分部积分公式证明：.证 令则,则 即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y=ex与直线x=0及y=e; (2) y=x3与y=2x;(3) y=x2,4y=x3; (4) y=x2与直线y=x及y=2x;(5) y=,x轴与直线y=x及x=2; (6) y=(x-1)(x-2)与x轴；(7) y=ex,y=e-x与直线x=1; (8) y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb, .解 (1)可求得y=ex与y=e的交点坐标(1,e), y=ex与x=0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积 图6-1 图6-2(2)解方程组得即三次抛物线和直线的交点坐标分别为(0,0),它们所围成的图形的面积.(3)解方程得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为. 图6-3 图6-4(4)可求得与的交点为(0,0),(1,1);与的交点为(0,0),(2,4);y=x与y=2x的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:(5) 与的交点为(1,1),x轴与直线x=1,及x=2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:. 图6-5 图6-6(6) ,顶点坐标为,与x轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由得.所求面积(7)可求得曲线与的交点(0,1),曲线,与x=1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积: 图6-7 图6-8(8)曲线轴与直线所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y=ex,x=0,y=0,x=1,绕y轴； (2) y=x3,x=2,x轴，分别绕x轴与y轴；(3) y=x2,x=y2，绕y轴； (4) y2=2px,y=0,x=a(p0,a0),绕x轴；(5) (x-2)2+y21,绕y轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD,与曲边梯形CBD绕y轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y=ex与x=1的交点为(1,e), y=ex与y轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积. 图6-9 图6-10 (3)解方程组得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积. 图6-11 图6-12.(5)所求旋转体的体积是由右半圆与左半圆绕x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即图6-133. 已知曲线y=a (a0)与y=ln在点(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解 (1)由题意有点在已知曲线上,且在点处两函数的导数相等.即有即 解得 .(2)由(1)知两曲线的交点为,又在区间(0,1)上,曲线在曲线的上方,它们与x轴所围成的平面图形的面积.(由得,由得).4. 设,试求曲线y=f(x),直线y=x及x=1所围图形的面积.解 图6-14解方程得交点为,且易知当时,位于的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解 由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程得与x轴的两交点为(0,0), ,抛物线与x轴所围图形的面积.,由得,代入上式有,令得或,由已知得,从而,所以.6. 已知某产品产量的变化率是时间t(单位：月)的函数f(t)=2t+5,t0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品产量为,则,第一个5月的总产量第2个5月的总产量为7. 某厂生产某产品Q(百台)的总成本C(万元)的变化率为C(Q)=2(设固定成本为零)，总收入R(万元)的变化率为产量Q(百台)的函数R(Q)=7-2Q.问：(1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少?解 (1)总利润当即即,Q=2.5百台时,总利润最大,此时的总成本总利润(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本,总收入,总利润为(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5，试求这10年中该投资的纯收入的现值.解 投资后T年中总收入的现值,由题意知所以纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：(1) ; (2);(3) (a0); (4);(5); (6) ;(7) ; (8);(9) ; (10);(11) .解 (1),此广义积分收敛.(2),此广义积分发散.(3),此广义积分收敛.(4)不存在,所以,此广义积分发散.不存在,此广义积分发散.,收敛.此广义积分发散.此广义积分收敛.2. 当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这广义积分发散?又当k为何值时，这广义积分取得最小值?解 当k=1时, ,发散.当时,所以,当k>1时,此广义积分收敛,当k1时,此广义积分发散.记.令得.又 ,且 ,故在有极大值,而只有一个驻点,所以当时取得最大值,因而时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分.解 又 故 4. 求 (n=0,1,2,).解 设x=sint,则dx=cosdt, 而 所以 .6. 用函数表示下列积分：(1) (n0)； (2) (-1)；(3) ; (4) （）.解 (1)令,则,于是 .(2)令,则于是 (3)令,则,于是 .(4)令,则,于是