苏教版必修高中数学《基本不等式的证明》教学设计.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案3.4.1基本不等式的证明（ 1）教学目标：一、学问与技能1 探究并明白基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法。2 会用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题。3 学会推导并把握基本不等式，懂得这个基本不等式的几何意义，并把握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。4 懂得两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何说明二、过程与方法1. 通过实例探究抽象基本不等式。2. 本节学习是同学对不等式认知的一次飞跃要善于引导同学从数和形两方面深化的探 究不等式的证明，从而进一步突破难点变式练习的设计可加深同学对定理的懂得，并为以后实际问题的争论奠定基础两个定理的证明要留意严密性，老师要帮忙同学分析每一步的 理论依据，培育同学良好的数学品质三、情感、态度与价值观1 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的爱好。2 培育同学举一反三的规律推理才能，并通过不等式的几何说明，丰富同学数形结合的想象力教学重点：应用数形结合的思想懂得不等式，并从不同角度探究不等式的证明过程教学难点：懂得基本不等式等号成立条件及“当且仅当时取等号”的数学内涵教学方法：先让同学观看常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题仍原出数学本质，可积极调动同学的学习热忱。定理的证明要留给同学充分的摸索空间，让他们自主探究，通过类比得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案教学过程：一、问题情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 提问：ab 与ab 哪个 大 ？2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 基本不等式abab 2的几何背景：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热忱好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（老师引导同学从面积的关系去找相等关系或不等关系）二、同学活动问题 1我们把“风车”造型抽象成上图在正方形ABCD 中有 4 个全等的直角三角形设直角三角形的长为a， b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生答：a2b2 ,a2b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 2那 4 个直角三角形的面积和了？生答2ab 问题 3好，依据观看4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得简洁得到一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式， a 2b 22 ab . 什么时候这两部分面积相等了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即xy 时，正方形EFGH变成一个点，这时有a 2b 22 ab .三、建构数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1重要不等式： 一般的， 对于任意实数a ，b ，我们有 a 2b 22ab ，当且仅当 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，等号成立问题 4：你能给出它的证明吗？ 同学尝试证明后口答, 老师板书 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： a 2b 22abab 2 ,当ab时，ab 20,当ab时,ab 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以a 2b 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意强调：当且仅当ab 时,a 2b 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：（ 1）等号成立的条件， “当且仅当”指充要条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案（ 2） 公式中的字母和既可以是详细的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范畴比较广泛问题 5：将 a 降次为a , b 降次为b , 就由这个不等式可以得出什么结论？ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2基本不等式：对任意正数a ， b ，有2生争论回答证明方法）ab , 当且仅当 ab 时等号成立 （学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法1 ：abab1 a 2b 22ab 1 ab 20 当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222ab 即 ab 时，取“”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法 2：要证abab ，只要证 2abab ，只要证 02a2abb ，只要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0ab2 由于最终一个不等式成立，所以abab 成立，当且仅当ab 即2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab 时，取“ =”号证法 3：对于正数a, b 有 ab 20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2ab0ab2ab ,abab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：把ab 和ab 分别叫做正数2a ,b 的算术平均数和几何平均数，上述不等式可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：（ 1）基本不等式成立的条件是：a0, b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）ab 2ab 的几何说明：（如图 1）以 ab 为直径作圆， 在直径 AB 上取一点 C ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 C作 弦D DA B， 就CD 2CACBab， 从 而 CDab ， 而 半 径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abCDabD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本不等式abab几何意义是： “半径不小于半弦” 。2AaCbB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）当且仅当ab 时，取“”的含义：一方面是当ab 时取等号，即（图 1） D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ababab。另一方面是仅当ab 时取等号，即2abab 2ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）假如a,bR ，那么 a 2b 22ab （当且仅当ab 时取“”）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）假如把a b 看作是正数a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数a ， b 的等比中项，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项四、数学运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例题例 1设 a ,b 为正数，证明以下不等式成立：（ 1） baab2 。（ 2） a12 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明（ 1 ）a ,b 为正数，b , a也为正数，由基本不等式得b a2ba2 原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ababab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式成立（ 2）a, 1 均为正数，由基本不等式得a12a12 ，原不等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知a, b, c 为两两不相等的实数，求证：a2b 2c2abbcca .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 a,b, c 为两两不相等的实数， a 2b 22ab ， b2c22bc ， c2a 22ca ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上三式相加：2 a2b2c 2 2ab2bc2ca ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， a 2b 2c 2abbcca 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知a,b, c, d 都是正数，求证abcd acbd 4abcd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明由 a ,b,c, d 都是正数，得：abcdabcd 20 ， acbdac bd0 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abcd acbd 42练习abcd ，即 abcd acbd 4abcd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）已知x, y 都是正数，求证：xy x2y2 x3y3 8x3 y3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知a,b,c 都是正数，求证： ab bc ca8abc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）摸索题：如x0 ，求x1 的最大值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1算术平均数与几何平均数的概念。2基本不等式及其应用条件。3不等 式证明的三种常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案小结正数的算术平均数不小于它们的几何平均数六、课外作业课后练 习第 2 题，第 6 题。习题3.4 第 1 题，第 2 题，第 3 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载