全国各地中考数学分类解析第章猜想求证型问题 .docx

精品名师归纳总结第三十四章 猜想求证型问题23（ 2021 山东省滨州中考，23， 9 分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”， “三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形ABCD中， ADBC，点 E，F 分别是 AB， CD的中点，那么 EF就是梯形 ABCD的中位线通过观看、测量，猜想EF 和 AD、 BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【解读】 连接 AF并延长交 BC于点 G，证明 ADF GCF，简洁看出EF 为 ABG的中位线，所以EF= （ AD+BC）。，解：结论为： EFADBC， EF= （AD+BC）理由如下：连接 AF 并延长交 BC于点 GADBC DAF=G，在 ADF 和 GCF中， ADF GCF，AF=FG， AD=CG又 AE=EB，即 EFADBC， EF= （ AD+BC）【点评】 此题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理正确的添加帮助线是解决此题的关键，梯形的问题经常转化为三角形的问题来解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结26 （ 2021 黑龙江省绥化市， 26， 8 分） 已知，点E 是矩形 ABCD的对角线BC 上的一点，且BE=BC，AB=3， BC=4，点 P 为 EC上的一动点，且 PQ BC于点 Q，PR BD于点 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如图（甲），当点P 为线段 EC中点时，易证：12PR+PQ=。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如图（乙），当点P 为线段 EC上任意一点（不与点E、点 C 重合）时，其它条件不变，就（1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给与证明。如不成立，请说明理由。 如图（丙），当点P 为线段 EC延长线上任意一点时，其它条件不变，就PR 与 PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解读】 解：（ 2）图 2 中结论12PR+PQ=5仍成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：连接 BP，过 C 点作 CK BD于点 K四边形ABCD为矩形，BCD=9°0，又CD=AB=3，BC=4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BD=CD21BC2132425可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S BCD=2BC.CD=2BD.C，K可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 3×4=5CK，12 CK=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 S BCE= 12BE.CK， S BEP= 12PR.BE， S BCP= 12PQ.B，C 且 S BCE=S BEP+S BCP，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 BE.CK= 1 PR.BE+ 1PQ.BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222又 BE=BC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CK=PR+P，Q12PR+PQ=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）图 3 中的结论是12PR-PQ=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5PR+PQ=【答案】 结论12 仍旧成立，理由见解读。图（丙）中的结论是512PR-PQ=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】 此题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理：勾股定理，解决此题的关键是把握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的等式关系难度中等23.（ 2021 山东省青岛市， 23， 10） （ 10 分）问题提出：以n 边形的 n 个顶点和它内部的m 个点，共（ m+n）个点为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为明白决上面的问题，我们将实行一般问题特别化的策略，先从简洁和详细的情形入手：探究一：以 ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共 4 个点为顶点，可把 ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，明显，此时可把ABC分割成 3 个互不重叠的小三角形.探究二：以 ABC的三个顶点和它内部的2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把 ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC的内部，再添加 1 个点 Q，那么点 Q的位置会有两种情形： 一种情形，点 Q在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在 PAC内部，如图。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一种情形，点 Q在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在 PA上，如图。 明显，不管哪种情形，都可把ABC分割成 5 个互不重叠的小三角形.探究三：以 ABC的三个顶点和它内部的3 个点 P、Q、 R，共 6 个点为顶点可把ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图画出一种分割示意图.探究四：以 ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（ m+3）个顶点可把 ABC分割成个互不重叠的小三角形。探究拓展：以四边形的4 个顶点和它内部的m个点，共（ m+4）个顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形。问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的m个点，共（ m+n）个顶点，可把ABC分割成个互不重叠的小三角形。实际应用：以八边形的8 个顶点和它内部的2021 个点，共 2021 个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式运算）23.【解读】 观看图形发觉：内部每多一个点，就多2 个三角形，从而得到一般规律为n+2m-1 或2m+n-2. 依据依据规律逐一解答 .【答案】 探究三： 7分割示意图 . （答案不唯独） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结探究四： 3+2（ m-1）或 2m+1探究拓展： 4+2（ m-1）或 2m+2问题解决： n+2m-1 或 2m+n-2实际应用：把 n=8,m=2021 代入上述代数式，得2m+n-2=2× 2021+8-2=4024+8-2=4030.【 点评】 此题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发觉规律才能顺当解题，表达特别到一般的数学思想16（ 2021 贵州遵义， 16,4 分）猜数字嬉戏中，小明写出如下一组数：， ，想出第六个数字是，依据此规律，第n 个数是解读： 依据分数的分子是2 ，分母是 2 +3，进而得出答案即可nn解：分数的分子分别是：2 =4， 2 =8， 2 =16，234分数的分母分别是： 2 +3=7，2 +3=11， 2 +3=19，234第 n 个数是故答案为：答案：点评： 此题主要考查了数字变化规律，依据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键，小亮猜26.（ 2021 年吉林省，第 26 题、 10 分） 问题情境如图，在 x 轴上有两点A（ m,0） ,Bn, 0n m 0. 分别过点 A，点 B 作 x 轴的垂线，交抛物线y=x2于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 C，点 D.直线 OC交直线 BD于点 E，直线 OD交直线 AC于点 F, 点 E, 点 F 的纵坐标分别记为yE . ,yF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特例探究填空：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m=1,n=2 时，y E. =,yF =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m=3,n=5 时，y E. =,yF =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结归纳证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意 m, n （ n>m>0） , 猜想yE. 与yF 的大小关系，并证明你的猜想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拓展应用 .1. 如将“抛物线 y=x 2”改为“抛物线 y=ax 2（ a>0）” , 其它条件不变，请直接写出关系 .yE . 与yF 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 连接 EF， AE当S四边形 OFEB .3SOFE时，直接写出 m和 n 的关系及四边形 OFEA的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解读】 【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特别情形，因此以【拓展】（1 ）为例说明前三小问的思路：已知A、 B 的坐标，依据抛物线的解读式，能得到C、D 的坐标，进而能求出直线OC、OD的解读式，也就能得出E、F 两点的坐标，再进行比较即可最终一小题也比较简洁：总结前面的结论，能得出 EF x 轴的结论，那么直角梯形OFEB的面积和 OFE的面积比例关系，能判定出EF、OA的比例关系，进而得出m、n 的关系，再对四边形OFEA的外形进行判定【答案】解： 特例探究当 m=1， n=2 时， A（1， 0）、 B（ 2， 0）、 C（ 1， 1）、 D（ 2， 4）。 就：直线 OC的解读式为： y=x。直线 OD解读式为： y=2x。 F（ 1， 2）、 E（ 2， 2）。即 yEyF2 同理：当 m=3， n=5 时， y Ey F15 归纳证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结猜想： yEy F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC证明：yn2 , ym2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就， Cm, m ， D n, n 2OD的解读式为 y=nx OC的解读式为 y=mxE 在 OC上，横坐标为n，当 x=n 时， yEmnF 在 OD上，横坐标为m当 x=m时， yFmn yEy F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拓展应用（ 1）设 yDan 2, yCam2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 Cm, am2 , D n, an2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OD的解读式为yODanx, yOCamx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=n 时， yEamn 。当 x=m 时 yFamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yEy F2 四边形 OFEB是直角梯形， EF=n-m,OB=n, BE=mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S四边形 OFEB1 n2mnamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1 EF gBE1 nmamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OEF22又 S四边形 OFEB3S OFE11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nmamn3g（ nmamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 2nm3nmn2 m可得， EF=m, OA=m EF OA且 EF=OA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四边形 OFEA是平行四边形【点评】 此题主要考查的是一次函数解读式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等学问，综合性较强，此题由特别到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础学问的把握是解题的关键28 （ 2021 黑龙江省绥化市，28， 10 分） 如图，四边形 ABCD为矩形， C 点在 x 轴上， A 点在 y 轴上， D 点的坐标是（ 0， 0）， B 点的坐标是（ 3， 4），矩形 ABCD沿直线 EF折叠，点 A 落在 BC边上的 G处， E、F 分别在 AD和 AB 上，且 F 点的坐标是（ 2， 4）求 G点坐标。求直线 EF 的解读式。点 N 在 x 轴上，直线EF 上是否存在点M，使以M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形如存在，请直接写出 M点坐标。如不存在，请说明理由【解读】 解：由已知得，FG=AF=2， FB=1四边形 ABCD为矩形0 B=90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BG=FG 2FB 222123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 G坐标为（ 3， 4 -3 ）设：直线 EF的解读式是 ykxb k0FB 1在 Rt BFG中， cosBFG= =FG 200 BFG=60， AFE= EFG=600 AE=AFtan AFE=2tan 60 =23 E 点的坐标是（ 0， 423 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 F 点的坐标是（ 2,4 ）b423 解得 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2kb4b42 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 EF的解读式是y3x423 。存在：444M 1 33,3 、 M 213,3 、 M 313,83 333【答案】 G点坐标（ 3， 43 ）。 y3x423 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 M 1343,3 、34M 2133,3 、M 3143,83 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】 此题综合考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线解读式、三角函数及特别角的三角函数值、平行四边形的性质等多个学问点仍考查了考生数形结合思想、分类争论思想等多个常见的初 中数学思想对考生在学问、方法及才能方面均有较高的要求难度较大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 （ 2021 四川省资阳市， 21， 8 分） 已知 a 、 b 是正实数，那么，abab 是恒成立的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 3 分 由ab 20 恒成立，说明abab 恒成立。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 3 分 填空：已知 a 、 b 、 c 是正实数，由abab 恒成立，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推测：abc也恒成立。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 2 分 如图，已知 AB 是直径，点 P 是弧上异于点 A 和点 B 的一点， PC AB，垂足为C， AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ， C b ，由此图说明abab 恒成立2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAOCB（ 第21题【解读】 （ 1）由完全平方的非负性及完全平方公式绽开再运用不等式性质1 即可证得 .（ 2）由（ 1）得出：“两正实数的平均数不小于这两正实数积的算术平方根”，挖掘规律得出答案.（3）由“点到直线上全部点的连线段中垂线段最短”的性质及相像构造出不等式的形式.P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A【答案】OCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）由ab 20 得， a2abb0 1 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 ab2ab 2分 abab 3分23（ 2） abc 6分（ 3）连结 OP， AB 是 直 径 ， APB=90° ， 又 PCAB ， Rt APCRt PBC， PCCB，ACPCPC 2ACCBab ， PCab 7分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 POab ，由垂线段最短，得POPC ，2abab 8 分2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】 此题主要是将高中不等式学问通过中学的学问去懂得证明，主要考查了考生观看、类比、归纳的才能 . 解决此种题型的关键是敏捷运用初数的各个学问点及明白初高中数学学问的连接. 难度较大 .（ 2021 浙江省衢州， 19，6 分）如图，在 ABCD中， E、F 是对角线 BD上的两点，且 BE=DF，连接 AE、CF. 请你猜想： AE与 CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明.【解读】 AE与 CF 有怎样的数量关系，可从AE与 CF所在的 ABE和 CDF是否全等来考虑，先由平行四边形的性质得出 AB=CD， ABE= CDF，再加上已知BE=DF，可推出 ABE CDF，得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】猜想： AECF四边形 ABCD是平行四边形， AB CD，AB CD2 分 ABE CDF 3 分又 BE=DF ABE CDF 5 分 AE CF6 分【点评】此题考查的学问点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明AF 与 CF 所在的三角形全等全等三角形的判定，常见的判定方法有5 种，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，如已知两边对应相等，就找它们的夹角或第三边。如已知两角对应相等，就必需再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，如已知一边一角，就找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边24（ 2021 湖南湘潭， 24， 8 分）如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，将ABC 沿直线 BC 向右平移, 使 B 点与 C 点重合，得到DCE ，连结 BD ，交 AC 于 F .（ 1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论。（ 2）求线段 BD 的长 .【解读】用 平行四边形和菱形的判定方法和性质进行推理， 将 ABC沿直线 BC 向右平移 ,CD AB，且 CD=AB，就四边形 ABCD是平行四边形，又有AB=BC，就四边形 ABCD是菱形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结菱形的对角线相互垂直平分。（ 2）用勾股定理或三角函数求出等边三角形的高BF=3 32，由菱形的性质得BD=2BF=3 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 （ 1）猜想 AC 与 BD 的位置关系是相互垂直平分，证明如: 下：因 ABC是等边三角形，就AB=BC=AC=，3 将 ABC 沿直线 BC 向右平移后 ,CD AB，且 CD=AB，就四边形 ABCD是平行四边形，又有AB=BC，就四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的对角线 AC 与 BD 相互垂直平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分。（ 2 ） BC=3， CF=3 ， BFC=900 ， BF=2BC 2CF 2321.52= 33 ， 由 菱 形 的 性 质 得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD=2BF=3 3 。【点评】 此题主要考查菱形和平行四边形的性质和判定方法，对角线相互垂直平分，是菱形的性质。 来17.（ 2021 安徽， 17， 8 分）在由 m× n（ m× n 1）个小正方形组成的矩形网格中，争论它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 m、 n 互质（ m、n 除 1 外无其他公因数）时，观看以下图形并完成下表：mnmnf123213432354247357猜想：当 m、n 互质时，在 m×n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与 m、n 的关系式是（不需要证明）。解：（ 2）当 m、 n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依旧成立，17：解读：（ 1）通过题中所给网格图形，先运算出2× 5，3× 4，对角线所穿过的小正方形个数f ，再对比表中数值归纳 f 与 m、n 的关系式 .（ 2）依据题意，画出当m、n 不互质时，结论不成立的反例即可.解：（ 1）如表：mnmnf12321343235424763576f=m+n-1（ 2）当 m、 n 不互质时，上述结论不成立，如图2× 42× 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题是操作探究题，依据操作规章得出数据，并归纳总结其中规律，对于错误结论的证明，只要举出反例即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载