概率论与数理统计学习总结 .docx

精品名师归纳总结概率论与数理统计学 习 报 告学院学号： 姓名：概率论与数理统计学习报告通过短短一学期的学习,虽然学习、争论的并不深化,但该课程的每一处内容都有不同的神奇吸引着我,让我对它在生活中扮演的角色布满遐想。 它将我带入了一个由随机变量为桥梁,通过表面偶然性找出其内在规律性, 从而与其它的数学分支建立联系的世界,让我对这种进行大量的随机重复试验,通过分析争论得出统计规律性的过程产生了极大的爱好。我很喜爱这门课程,但也不得不说课后在它上面花的时间并不多,因此学得仍不深化,但它真的深深的吸引了我,我肯定会找时间进一步深化的学习它。先简洁的介绍一下概率论与数理统计这门学科。概率论是基于给出随机现象的数学模型,并用数学语言来描述它们,然后争论其基本规律,透过表面的偶然性,找出其内在的规律性,建立随机现象与数学其他分支的桥梁,使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来争论随机现象,进而也为其他数学分支和其他新兴学科供应明白决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础,基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来争论随机现象,进而对所观看的问题作出推断和猜测,直至为实行肯定的决策和行动供应依据和建议。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率论与数理统计是争论随机现象及其规律性的一门数学学科。争论随机现象的规律性有其特殊的思想方法,它不是寻求显现每一现象的一切物理 因素,不能用争论确定性现象的方法争论随机现象,而是承认在所争论的问 题中存在一些人们不能熟悉或者根本不知道的随机因素作用下,发生随机现 象。这样,人们既可以通过试验来观看随机现象,揭示其规律性,作出决策, 也可依据实际问题的详细情形找出随机现象的规律,作出决策。至今, 概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中,并随着运算机的普及,概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是很多新兴学科,如信息论、掌握论、排队论、牢靠性论以及人工智能的数学理论基础,而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了很多新的分支和边缘学科,如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计运算等。概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特点及特点函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与争论,其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的。而数理统计中作为争论对象的随机变量的概率分布是完全未知的,或者分布类型已知,但其中的某些参数或某些数字特点是未知的。概率论争论问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实动身,按一定的规律推理得到结论, 在方法上是演绎式的。 而统计学的方法是归纳式的, 从所争论的对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测,以获得试验数据, 依据试验数据所猎取的信息,对整体进行推断,是归纳而得到结论的。因此把握它特有的学习方法是很重要的。在学习的过程中,不论是老师提出的一些期望我们课后争论的问题仍是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些摸索,或许解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得并不全面甚至仍可能是不正确的,但的确是自己的一点摸索,提出来以后逐步的去解决完善吧。<一>随机大事及其概率问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 大事 A=P A0,那么P A0A对吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：此种说法不对。概率论里说了不行能大事的发生概率是0,但 0 概率大事可能发生 .比如在宇宙中抽一个人,抽到你的概率。这就是一个0 概率大事可能发生的例子！随机变量分连续和离散两种,它们各自的分布描述是不同的。对于离散随机变量,假如它的大事域是有限个大事,就可以认为概率为 0 的大事肯定不会发生, 概率为 1 的大事必定发生。 但如大事是无限的,就仍要详细分析。既然 0 概率大事都是有可能发生的,那么概率趋近于零的大事果真有可能发生,只不过我们平常在处理问题的时候,把概率趋近于零的大事算作 0 概率大事,只是算作,不是肯定的是。对于连续性随机变量,单个详细点的概率密度值为一有界常数,这个值可以是任意的（包括 0 和 1）,但由于点是没有长度的,所以该点的概率密度积分为0（由于该点概率密度值有界）,即 该点所对应的大事发生的概率为0,但这个大事仍旧是可能发生的,由于这 个大事在大事域内。也就是说,概率为0 的大事并不肯定不会发生。同理, 某个点的概率密度值为1,但该点的概率密度积分仍为 0,所以概率为 1 的大事也不肯定必定发生。总之,对于连续性随机变量,争论单个点的概率是没有意义的（都为 0）,我们争论的是,这个随机变量落在一个区间内的概率。（2） 大事 A、B、C,它们两两独立,是否 A、B、C 肯定是相互独立？ 解析：不肯定。举一个反例：某一个袋中有4 个球,一个白色,一个黑色,一个红色,一个为这三色,现任取一个球观看颜色。可知：设大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,B,C,A= 有红色,B= （有白色）, C=（有黑色）。P AP BPC1 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P ABP ACPBC111422P APBP A PCPB PCA、B、C 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两独立,又P ABC14111222P A P BPCA、B、C 不是相互独立。所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以几个大事两两独立不肯定它们就是相互独立。（对于此反例,有一个问题就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P（ ABP ACP BC1 , P AP B4P A PCP B PC11 , 虽然 在22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数值上相等,但会是一个数值上的巧合吗？P ABP APB肯定成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结吗？）（3） 独立与互不相容的关系： （独立条件：P AB P A P B , 互不相容条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AB0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 如 0P A1,0P B1 , 就 a：A、B 独立,P ABP A P B0A、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 相 容 。b:A 、 B 不 独 立 ,P AB0A、 B 互 不 相 容 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAB P AP B） 0A、B 相容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）A 与 B 相互独立, CB , A 、C是否肯定相互独立？解析： A、C不肯定独立。举一反例：如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAB P APB0, CB由图可知：P AC 0PAPC 所以 A、C 不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结独立。< 二>随机变量及其分布问题：概率论中引入随机变量,从而使争论对象由随机大事扩大为随机变量, 对于随机变量的分布函数,我们能够用微积分为工具进行争论,强有力的数学分 析 工 具 大大 的 增 强 了 我们 研 究 随 机 现象 的 手 段 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论随机现象手段离散型随机变量分布列一般性随机变量分布函数连续性随机变量概率密度<三>随机变量数字特点与极限定理：我们都知道随机变量的概率分布能够完整的描述随机变量的统计规律,但在很多的实际问题中,求概率分布并不简洁,另一方面,有时不需要知道随机变量的概率分布,而只需要知道他的某些数字特点就够了。数字特点虽然不像概率分布那样完整的描述了随机变量的统计规律,但它能集中的反映随机变量的某些统计特性,而且很多重要分布中的参数都与数字特点有关,因而数字特点在概率论与数理统计中占有重要位置。我们也学习了几种常见的分布的数字特点,包括期望、方差、协方差、相关系数以及矩等。（1） 不相关与独立之间的关系：解析：不相关的等价命题： 1。 02 。covx,y=03。EXY=EXEY可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4。DX+Y=DX+DY独立E XY E X EY 有数字特点）不相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论：（ 1）X 与 Y 独立,就 X 与 Y 肯定不相关（ 2）X 与 Y 不相关,就 X 与 Y 不肯定独立证明：（ 1）由于 X 与 Y 独立,所以 fxy=fxfy, （ f 为概率密度函数）于 是:EXY= fxydxdy= fx*fydxdy=fxdx*fydy=EXEY 所以： EXY=EXEY ,即 X,Y 不相关。（ 2）反例： X=cost,Y=sint ,其中 t 是0,2 上的匀称分布随机变量。易得 X 和 Y 不相关,由于：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EXY=Ecost sint= （ 1/2 ）* sint cost dt = 0EX= （1/2 ） *cost dt =,0 EY= （1/2 ）*sint dt = 0所以 EXY=EXEY 。但是他们是不独立的。由于： X 和 Y 各自的概率密度函数在（ -1,1）上有值,但是 XY 的联合概率密度只在单位圆内有值,所以fXY 不等于 fx*fy, 两者不独立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 切比雪夫不等式： P XE X D X 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情形下, 利用 E X 和D X 对 X 的概率分布进行估量的方法,有很广泛的应用。3留意一些应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 的 独 立 条 件 ： 1 。 概 率 密 度f x, yf X x fY（ y ）。 2 。 卷 积 公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式 .f Z zf X xf Y zx dx 。 3。N 个独立正态分布之和仍旧是正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnX iN i ,i 1i 1i 12 。 4。E XY E X EY ,D XYD X D Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i<四>数理统计与参数估量：数理统计以概率论为理论基础,依据试验或观测到的数据,争论如何利用有效的方法对这些已知的数据进行整理、分析和推断,从而对争论对象的性质和统计规律作出合理科学的估量和判定。然而在实际问题中,所争论的总体分布类型往往是已知的,但依靠于一个或几个的未知参数,如何从样本估量总体的未知参数就成为数理统计的基本问题之一。通过学习,简洁的明白了一些关于点估量和区间估量的问题,能够解决一些简洁的实际问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）如何推导出的样本方差：S21nn1 i 12xiX 12xin12n X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推 导 过 程 ： XN,2 , XN 2,。（ 注 意 独 立 条 件 ）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xXxxinx jj i , j i= n1 xnx jj 1, j iN1, n4n 23n132 由S 2 是D X 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iinn1inn1nn2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结无 偏 估 计 从 , 中 随 机 抽 取 n个 样 本 ,是 样 本 均 值 ,是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n 了？对于一个随机变量,分别表示其数学期望和方差, 从中随机抽取n 个样本,是样本均值,记为 的方差和期望。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率论与数理统计与生活实际问题有着很亲密的联系。它能将生活中的一些问题建立成一种数学模型,并且教给我们一些收集、分析、处理试验数据才能,使我们能够利用学过的成熟的数学工具和方法来争论随机现象解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生活实际问题。以下就是几类我认为比较经典的模型和处理方法：（1） “抓阄”是否是真正的公正？解析：建立一个概率论模型：袋中有a 个黑球, b 个白球。随机的（不放回）把球一个个的摸出来。 求 A=“第 k 次摸出的是黑球” 的概率（ kab ）.解题：把 a 个黑球与 b 个白球看作是不同的,且把 ab 个球的每一种排列看作是基本领件。于是基本领件总数ab ！。由于第 k 次摸得黑球有 a 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可能,而另外 ab1次摸得球的排列有 ab1 ！种可能。所以 A 中包含的基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本领件数为 a ab1 ！。因此有：P Aa a ab 1ba。由结果得出它ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 k 值无关,无论哪一次取得黑球的概率都是一样的,或者说是取得黑球概率与先后次序无关。这就从理论上说明白平常人们实行的“抓阄”的方法是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公正合理的。（2） 把一个比较复杂的随机变量 X拆成 n 个比较简洁的随机变量xi 的和,然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结后通过这些比较简洁的随机变量的数学期望,依据数学期望的性质求得X 的数学期望。这是概率论中常采纳的处理方法。建立一个数学模型：r 个人在楼的底层进入电梯,楼上有n 层,每个乘客在任一层下电梯的概率是相同的。如到某一层无乘客下电梯,电梯就不停下。求直到乘客都下 完时电梯停车的次数 X的数学期望。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题：设X i 表示在第 i 层电梯停车的次数,就X i0,第i层没有人下电梯,1,第i 层有人下电梯。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易见 X1nX i , 且E X i 1nE X i i 1由于每个人在任一层下电梯的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结率均为 ,in可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 r 个人同时不在第 i 层下电梯的概率为 11 r ,即：P X n011 r 。从而,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X i111n得1 rn于是：1 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E X E X i i 1n 11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 贝叶斯公式的应用：P Ai BP Ai PB Ai nP Aj PB Aj 式中 P Ai 称为先验概率,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般在试验前就已知,经常是以往的体会总结。P AiB 称为后验概率,它反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结映了试验之后对各种缘由发生的可能性大小的新学问。贝叶斯公式实际就是依据先验概率求后验概率的公式。例题模型：设患病的人经过检查,被查出的概率为0.95 ,而为患病的人经检查,被误认为有肺病的概率为0.002 。又设在全城居民中患病的概率为0.1%。如从居民中随机抽一人检查,诊断为有肺病,求这个人的确患有肺病 的概率。解题：以 A 表示某居民患肺病的大事, A 以表示某居民无肺病。设 B 为检查可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结后诊断为有肺病的大事,于是问题就是求P A B. 由于 BAA,又A与A 互不相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结容, P A BP A P B A0.0010.950.3223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A PB AP AP B A0.0010.950.0020.999可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率论与数理统计有太多的奥妙,在我们的生活中有太多的“可能性” “把握有多大”“估量值”“猜测”。都与概率论与数理统计有着亲密的联系,当我们真正的去深化争论它的时候,我信任我们肯定会有意想不到的收成。可编辑资料 - - - 欢迎下载