高等数学期末复习试题及答案 .docx
精品名师归纳总结一、填空题共 21 分每题 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z1. 曲线xy 210绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为zx 2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 直线x2L1 :2y4z53与直线xL2 :yz3t13t27t的夹角为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设函数f x, y, zx 22 y 23z2 ，就 grad f1, 1, 1 2,4, 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设级数un 收敛，就n 1lim un0n0,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设周期函数在一个周期内的表达式为1f x1x, 0x就它的傅里叶级数在 x处,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结收敛于6. 全微分方程2ydxxd y0 的通解为xyC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 写出微分方程 yy2 yex的特解的形式y*axex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解答题共 18 分每题 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求过点1,2, 1 且垂直于直线x2 yxyz30z20的平面方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijk解：设所求平面的法向量为n ，就 n1211, 2, 34 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求平面方程为x2 y3z06 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 将积分f x,y, zdv 化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2 x 2y 2 及 zx2y 2所围成的区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：:rz2r 2 , 0r1,023 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x,y, zd v21dr dr002 r 2rf rcos, r sin, zdz6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算二重积分 Ie x22Dy dxdy ，其中闭区域D : x2y 24.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解Id02 e r02rdr12d2 022red0r 2 12r 22de201e 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、解答题共 35 分每题 7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设 zuev ，而 ux 2y 2 ， vxy ，求 d z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzu解：xuxzvev2x vxuevyexy2xx2 yy3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzuyuyzvev2yvyuevxexy 2yx3xy2 3 分6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d zexy 2xx 2 yy3d xexy 2 yx 3xy 2 d y7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 函数 zz x,y) 由方程 ezxyz0 所确定，求 z ,z xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令F x,y, zezxyz，2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就Fxyz,zFxFyxz,yz，FezzzFyxy,xz5 分7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xFzezxyyFzezxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算曲线积分L向弧段ydxxdy ，其中 L 是在圆周 y2xx 2 上由A 2, 0 到点 O0, 0 的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：添加有向帮助线段 OA ，有向帮助线段 OA 与有向弧段 OA 围成的闭区域记为 D ，依据格林公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y dxLx dy2dxdyDy dxOAx dy5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结207 分2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设曲线积分 exLf x y dxf x dy 与路径无关，其中f x 是连续可微函数且满意f 01，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由 PyQ得 exxf xf x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f xf xex3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xe 1 dx exedxdxCex xC ，6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入初始条件，解得 Cn. 21，所以f xex x1 7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 判定级数n 1 2n.u的敛散性 n1. 2n. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由于limnn 1unlimlimn n2n1 22.2n.113 分6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2n2 2n14故该级数收敛7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、7 分运算曲面积分xdydzyd zdxzdxdy ，其中是上半球可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2面 z1x 2y 2 的上侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：添加帮助曲面高斯公式得1 : z0, x2y1 ，取下侧，就在由1 和 所围成的空间闭区域上应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdyd zydzdxzdxdyxd yd zydzdxzdxdy11xdydzydzdxzdxdy4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3dv06 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 142327 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、6 分在半径为 R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设三角形各边所对圆心角分别为x, y, z，就 xy z2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且面积为 A1 R22sin xsin ysinz) ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令Fsin xsin ysin z xyz 23 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Fxcosx0Fycos y0Fzxcoszyz20由4 分得 xyz2此3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，其边长为 23 R3R 由于实际问题存在最大值且驻点唯独，故当内接三角形为等边三2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角形时其面积最大6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、8 分求级数nx的收敛域，并求其和函数n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：Rlimnan an 1limn n1n1 ，故收敛半径为 R1 2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 时，依据莱布尼茨判别法，级数收敛。 当 x1 时， 级数为调和级数，发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原级数的收敛域为 1, 1 5 分xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设和为S x ，即 S xn 1 n，求导得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S xxn1n 11，6 分1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再积分得S xxS xd x01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx0 1xln1x， 1x18 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、5 分设函数f x 在正实轴上连续，且等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t dtyf t d txf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任何 x0, y0 成立假如f 13 ，求f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 等式两边对 y 求偏导得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x f xyxf t dt1x f y2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式对任何 x0, y0 仍成立令 y1，且因f 13 ，故有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf xxf t dt13x 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf xf xf x3即 f x3 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故通解为f x3 ln xC 当 x1 时，f 13 ，故 C3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求的函数为f x3ln x1 5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结八 5 分已知 y1xexe2 x ， yxexex ， yxexe2 xe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1：由线性微分方程解的结构定理知e2x 与ex 是对应齐次方程的两个线性无可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关的解，xex 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyy2yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x将 yxe 代入上式，得f xex2xe ，因此所求的微分方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy2 yex2xex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 2：由线性微分方程解的结构定理知e2x 与ex 是对应齐次方程的两个线性无可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关的解，xex 是非齐次方程的一个特解，故 yxexC e2 xC2ex 是所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e12 xx求微分方程的通解，从而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yexxex2C1C2e，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2exxex4C e2 xC e x12消去 C1,C2 ，得所求的微分方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结06 高数 Byy2 yex2xex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、填空题共 30 分每题 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 xoy 坐 标 面 上 的 双 曲 线4 x 29 y 236 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x 29 y 2z236 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设函数f x,y, z2 xyzz 2 ，就 grad f1, 0,12,1,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 直线x2L1 :2y4z与直线53xL2 :yz3t13t27t的夹角为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设是曲面 z2x2y 2 及 zx2y 2所围成的区域积分，就f x,y, zdv 化为柱面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标系下的三次积分形式是21dr dr002 r 2rf rcos,r sin, zdz 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设L 是圆周 y2 xx2，取正向，就曲线积分Ly dxxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 幂级数n 11 nn1 xn的收敛半径R1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 设级数un 收敛，就n 1lim un0n0 ,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 设周期函数在一个周期内的表达式为f xx, 0x,就它的傅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结里叶级数在 x处收敛于2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 全微分方程xdxydy0的通解为xyC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 写出微分方程 yy2 yex 的特解的形式y*axex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解答题共 42 分每题分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 求过点1, 2, 1 且垂直于直线xyz2 x2 yz30的平面方程0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijk解：设所求平面的法向量为n ，就 n1211, 2, 34 分111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求平面方程为x2 y3z02 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 函数 zz x, y 由方程sinx2y3zx2 y3z所确定，求z x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令F x,y, zsinx2 y3zx2 y3z ，2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 Fxcosx2 y3z1,Fz3cosx2y3z3 2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zFxxFz1cosx33 cosx2 y3 z2 y3 z2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算xyd，其中 D 是由直线 yD1, x2及 yx 所围成的闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：原式2xxydydx2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y2 x12 xdx2x3 12x) dx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x 4x 2111 .4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8解法二：原式4822xydxdy1y2y 42 y1811 .同上类似分 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 运算D域1 x 2y 2 dxdy ，其中 D 是由x 2y 21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 选极坐标系原式2 d011r 2 rdr03 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 11220r 2d1r 263 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 运算 y 2z2d x2 yzd yx2dz ，其中是曲线 xt, yt 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1zt 3 上由 t0 到t21的一段弧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 原式1 t 40t 6 2t 52tt 23t 2 dt3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13t 62t 4 dt 3 t72 t5 113 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 判定级数02n12nn 17的敛散性5035可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由于limnun 1unlimn 2n12n 12n1 2n3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11，2 分2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故该级数收敛1 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 求微分方程 y3y4 y0满意初始条件y x00, y x05的特解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 特点方程r 23r40 ，特点根r14,r21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通解为 yC e4xC e x ，3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12y4C e4xC e x ，代入初始条件得C1,C1，1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以特解 ye4xex 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、8 分运算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是上半球面 z1x2y 2 的上侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：添加帮助曲面1 : z0, x 2y1 ，取下侧，就在由1和 所围成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2空间闭区域上应用高斯公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdydzydzdxzdxdy4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3dv02 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1432 2 分23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、8 分设曲线积分yfL xdx2 xf xx 2 dy 在右半平面 x0 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与路径无关，其中f x 可导，且满意f 11，求f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由P yQ ，得xf x2 f x2xf x2x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f x1f x 2x1，3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以f x1 dxe2 x1 dxe 2 xdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 2 1x 2 dxC13x 2 2 x 23C ，3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入初始条件，解
