2022年武汉理工大学线性代数考试试题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 武汉理工高校考试试题纸 （ 第 1 份卷）课程名称 线性代数专业班级 2005 级本科题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 12 12 40 12 12 12 100 备注 : 同学不得在试题纸上答题 含填空题、挑选题等客观题 一单项挑选题（每道题 3 分,共 12 分）1. 设 A, B 均为 n 阶矩阵,且 A B 2A 22 AB B ,就必有 _；2A B E B AB BA C A E D A B2. 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , 向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关 , 就以下命题中成立的是 _；名师归纳总结 A 1肯定能由2,3,4线性表示B2肯定能由1,3,4线性表示第 1 页,共 48 页C 4肯定能由1,2,3线性表示D3肯定能由1,2,4线性表示3. 设1,2是三元线性方程组Axb的两个不同的解,且R A2,就 Axb的通解为 x_；Ak 11k22+122Bk12122C k 11k 212Dk 12k 2212114. 已知T 1, ,1是矩阵A121的特点向量,就 k_；112A 1 或 2B-1 或-2C -1 或 2D 1 或-2二填空题（每道题3 分,共 12 分）1011. 210_；3252. 假如 A 是 3 阶可逆矩阵,互换A 的第一、其次行,得矩阵B ,且113A1201,就B1=_；002- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 设向量1T 1,1,1 ,2T 2,0, ,3T 1,3,2 ,如1,2,3线性相关,就 a=_；4. 已知 3 阶方阵 A 的特点值为 1、-1、2,就矩阵 A 2E 的特点值为 _；三解答题（每道题 8 分,共 40 分）1 1 1 01 1 0 11. 运算行列式 D n n 2；1 0 1 10 1 1 11 0 12. 设 3 阶方阵 A, 满意方程 A 2 B A B E,试求矩阵 B ,其中 A 0 2 0；2 0 13. 设 A 为三阶矩阵且 A 1,求 3 A 12 A ；*34. 求向量组 1 1, 1,2,4 , T2 3,0,7,14 , T3 0,3,1,2 , T4 1, 1,2,0 T 的一个最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示；名师归纳总结 5. 已知三阶实对称矩阵A 的三个特点值为10,232,且对应于特点值为0 的特点第 2 页,共 48 页向量为11,0, 1 T ,求矩阵 A.x 13x 2x30四12 分 设线性方程组为x 14x 2a x 3b,问： a 、 b 分别取何值时,方程组无解、2x 1x 23x 35有唯独解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解. 五（12 分）设二次型fx 1,x2,x 3=2x 1x 22x 1x 32 x2x 3由正交变换 xPy 可化为标准形f22 y 1y22 y 3. 求的值及正交矩阵 P,并判定该二次型的正定性.2六证明题（每道题6 分,共 12 分）1. 设向量组1,2,3线性无关 ,且1123,2123,3123. 试证明向量组1,2,3线性无关 .2. 如方阵 A、B 满意AEB ,且B2B. 证明 A 可逆,并求A1用 A 的多项式表示 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 :线性代数 （A 卷）一、挑选题（每道题 3 分,共 12 分）1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题 （每道题 3 分,共 12 分）1 1 31.2；2. 0 2 1； 3.a=1；0 0 24. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分,错一个就减一分）三、 解答题（每道题 8 分,共 40 分）1. 解：从其次列起,将其后各列加到第一列,有：Dnn1110c 1n1n11110r 1r 21r nr n00n01n2n1n1001 2 分0r nrnnn110111011n10111011n 101001111n11111111n n11 121 124 分注：如采纳其他方法运算出正确结果也应给满分,其正确的步骤也相应给分；2. 由题,有A2EBAE2 分2 AE 可逆；E2 分202且A2E030360,故2 分402E2 分 2 分1得B2 AE1 A在等式左右两边左乘2 A0011001/ 22 分AE10100102001003.解：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3A 12* A1A12A A12 分3A1,A11A12A11A12 分12 分33313A133,上式1332 分339注：如前面全部步骤正确,最终运算显现符号错误,扣一分；4. 解 ： 令 矩 阵A1,2,3,411,301, 并 通 过 初 等 行 变 化 化 成 最 简 形 , 有 ：1031271241 420130110304 分A1031r0110271200014,2 分4142000002,故向量组 A 的的一个最大无关组为且3312；2 分5.解：由于实对称矩阵不同特点值所对应的特点向量是正交的,设特点值为2 时所对应的特点向量为xx x 2,x 3T ,就有：x ,130, 即x 1Tx 302 分其基础解系为21,0,1T0,1,0,0如矩阵 A 相像与对角矩阵2,就2相像变换矩阵为P01,2,3110,2 分第 4 页,共 48 页0011/ 21/ 2,1102 分求得P11/ 201/ 2010名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0101由P1AP22,得APP10202 分101注：此题也可使用参数法求解,即：a 11a 12a 13a 1100232 分第 5 页,共 48 页设Aa 12a22a 23, a 13a23a 332 分a 11a 12a 1311由题意有a 12a22a2300 0a 13a23a3311a 11a 12得a 11a 13;a 12a 23 ;a 13a 33,故矩阵Aa 12a 22a 12, 2 分a 11a 12a 11由特点值为2 得A2 E0,代入A得a 222,1;a 12由特点多项式为AE22,比较系数得a 1110131,2 分故 A=0201011四 共 12 分解：线性方程组的系数矩阵为：A14a21314 分1310r1310ab增广矩阵为：A b14ab011213500a21b1 分故（ 1）当a2, b 方程组无解；2 当a 时,方程组有唯独解；1 分01r（3）当a2,b1,方程组有无穷解；2 分131当a2,b1,时,原增广矩阵为A b14201112 分21350000名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其等价方程组为：x 12 x 33,故其通解为：x 2x 31xx x2,x 3Tc123cR2 分11 ,0注：此题也可采纳如下方法判定方程组有唯独解：系数行列式为：A5 a2,故当a 时,方程组有唯独解；如 a=-2 时,代入原方程组进行化简,其运算步骤和评分标准同上；五（共 12 分）0112 分第 6 页,共 48 页解： f 的矩阵A101,有特点值12,132故12 分110当1时,解方程组 AE x0,得方程组的基础解系为：1111,20, 01正交单位化,有：111,211；11 3 分2602当2时,解方程组 A2 E x0,得方程组的基础解系为：31, 单位化,得：3112 分11311令P1 ,2,3131612, 故 xP y即为所求的正交变换；2 分1316121 分13260由于矩阵 A 特点值不全为正,故为非正定型（或不定）；六（每道题6 分,共 12 分）2 分1. 证明：设有k 1,k2,k3使k 11k 22k 330,就有：k 1123k 2123k 31230名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即： k 1k 2k 31k 1k 2k 32k 1k2k 330由于1,2k1k2k302 A2AE2 分第 7 页,共 48 页,3线性无关,就必有k1k2k30解得：k1k1k2k302 分k2k30,所以,1,2,3线性无关；2.证明：由AEBBAE B2AE22 分2 分B2 BAE2 A2AE, 即A23 A2 E ,1A3 E-2EA0,故 可逆,且 A1A=故有：A A32 分2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 武汉理工高校 考试试题纸（ 第 2 份 卷）课程名称 线性代数 A 专业班级 全校 06 本科题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 15 15 40 10 10 10 100 备注 : 同学不得在试题纸上答题 含填空题、挑选题等客观题 一、单项挑选题（每题 3 分,共 15 分）1 、已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1,2 ,0,1 ,它们的余子式依次分别为5,3,-7 ,4,D= A.-15 B.15 C.0 D.1 2、设 A 是 mn 矩阵, B 是 nm 矩阵,就（）A当 mn 时,必有行列式AB0；B当 mn 时,必有行列式AB0C当 mn 时,必有行列式AB0；D当 mn 时,必有行列式AB03、设1,2,3为3 R 的一个基,就以下仍为3 R 的一个基的是（）A.123, 22,123B. 12,23,13C. 12,23,2123D. 13,12,21234、对非齐次方程组A m nxb,设R Ar ,就 A. rm 时,方程组 Axb 有解；B. rn时,方程组 Axb有唯独解C. mn 时,方程组 Axb有唯独解；D. rn时,方程组 Axb有无穷多解5、以下命题中不正确选项 AAA A名师归纳总结 101第 8 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 21112、设A1121,就R A_；*1必有一个特点462236973、如二次型f2 x 122 x 22 tx 32x x 22x x34x x 为正定二次型,就 t4、如1233,4212,就13412；2A5、设 A 是 n阶矩阵,A2,* A 是 A 的相伴矩阵如 A 有特点值,就值是三、解答题；（每题 8 分,共 40 分）10001（8 分）可由010021、求00103（8 分）0001n123n01230012、求矩阵方程 AXB ,其中A321,B010；试求：当 k 为何值时1111003、设11k ,1,1,21,1k,1,31,1,1k,及0, , k k2,1,2,3线性表出,并且表示法唯独；（8 分）第 9 页,共 48 页2114、求A020的特点值和特点向量； （8 分）4135、设 A 为 3 阶矩阵,A1,求2A15A；（ 8 分）2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、当 a 、 b为何值时,线性方程组x 1x2x 3x40（10 分）x22x 32x41x 2a3x32x4b3x12x2x 3ax41有唯独解,无解,有无穷多组解,并求出有无穷多组解时的通解200200五、设矩阵 A 与 B 相像,其中A001 ,B010,01x001求 x; 求正交阵 P,使得T P APB .（10 分）六、证明题；（每题 5 分,共 10 分）1、设 A 是 n 阶矩阵,假如存在正整数k ,使得 AkO（ O 为 n 阶零矩阵）, 就矩阵 A 的特点值全为 0 名师归纳总结 2、设向量组1,2,r是齐次方程组AX0的一个基础解系, 向量不是方程组AX0,第 10 页,共 48 页的解,求证：1,r线性无关；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸名师归纳总结 课程名称：线性代数A （ A 卷）00in11ii（5 分）第 11 页,共 48 页一、挑选题（每题3 分,共 15 分）5、 41、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3 分,共 15 分）1、1,1,-1 2、3 3、2 4、1 三、解答题（每题8 分,共 40 分）101000101002010020010300103rn1 1 r2 2 r.n n r10001n0001n123n00000nii8 分i1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1231001231002. 解：3211010080813101111001034101230012300011310011310 3 分88880341010011318812011 893103118880101 2110101115 分2220011 8310011318881231311881132116 分2211111388名师归纳总结 故X1 A B113（8分）第 12 页,共 48 页881112213188- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 123001123001 解法 2 ：32010100880113111kk21111000341011230112300011013 801101233 分888034101001131889120311 81001136分888010111 2010111222001131 8001131888113（8分）88故 X111221k131k88111k1103111k11k0k3 kkk2kk12k30kk3kk1k2,（41k k2002kk00k k1 2 kk分）当k0且k3时可由1,2,3线性表出,并且表示法唯独；（8分）4解: 名师归纳总结 IA0211122第 13 页,共 48 页20413- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得特点值11,232；（3分）1解齐次线性方程组EA X0得基础解系为101c 1故对应于11的特点值为：c 110其中c 10（5c 1分）解齐次线性方程组12EA X0得基础解系为：（714421 ,3001分）故对应于323c2 的特点值向量为：0；（8c22c 31 42c3c 2其中c2,c 3不全c 3分）5解：由于A1|1 A |A *,|A|A1|1A15A1|（2分）所以|2A 15A *|1 2A15（522分）| 2A1| 23|A1|8|A|18 216（8 分）四、 解： 将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1111011110A01a221r01221（3 分）0132b00a10b1321a1000a10（6 分）所以,当a1时,ArA4,此时线性方程组有唯独解 当a1,b1时,rA2,rA3,此时线性方程组无解 当a1,b1时,rArA2,此时线性方程组有无穷多组解此时,原线性方程组化为x 1x 2x 32x 40x 22x 3x 41因此,原线性方程组的通解为x 1x3x41x22x32x41x 3x3x4x4或者写为x 1k11k211（10 分）x2221x3100x3010五、解：因 A 与 B 相像,故有21 120x2 .（3 分）第 15 页,共 48 页解得x0.（2 分）A 的特点根为11,21,3解齐次线性方程组EA X0,得名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对应于11的特点向量为* P 10,将它单位化得P 10.（5分）112112对应于21 的特点向量为* P 20,将它单位化得P 20. （7112112分）1对应于32的特点向量为* P 3P 30. （90分）令PP P P ,就PP P P 即为所求正交矩阵 . （10分）六 1、设是矩阵 A 的特点值,0是矩阵 A 的属于的特点向量,就有所以,AkAk1AAk1A ,（3k分）但是AkO,所以k0,但0,所以0 （5分）名师归纳总结 2、假设0,11,1r线性有关,就存在不全为零的0,1,r使得第 16 页,共 48 页rr0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是01r=11rr,（2分）又由于1,2,r的线性无关性知01r0,于是（4分）名师归纳总结 011r（11rr）,这与已知向量不是方程组AX0的解冲突；（5 分）第 17 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 武汉理工高校考试试题纸 （第三份 卷）课程名称 线 性 代 数专业班级 全校 07 级本科题号一二三四五六七八九十总分题分12 12 36 15 15 10 100 备注 : 同学不得在试题纸上答题含填空题、挑选题等客观题 A 112A 12_；一、填空题（每道题3 分,共 12 分）7291、已知A 是行列式102的元素a ij , i j1,2,3的代数余子式,就8101_；2、设矩阵Adiag1, 2,1,* A 为 A 的相伴矩阵,且* A BA2E ,就 B3可以构成3 R 空间的一组基,3、设向量组1,2,3是3 R 空间的一组基,要使1t2,t12,就 t 必需满意；4、要 使实二次型f x y zk x22 yz22xy2xz 为正定的,就必有k 的值满意 ；二、单项挑选题（每道题3 分,共 12 分）1、设 A 为 3 阶矩阵,如Ak ,就kA；A 4 k ；B k3；C 3k ；D k ；2、设 有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中 A,B均为 mn矩阵,就以下命题正确选项A 如Ax0的解均是Bx0的解,就R AR B ；B如R AR B ,就Ax0的解均是Bx0的解 ；C 如Ax0与Bx0同解,就R AR B ；D如R A R B,就Ax0与Bx0同解3、设 P 为 n 阶正交矩阵, x 是一个 n 维列向量,且 |x|=3,就 |Px|=_；A 1；B 3；C 6；D 9；HE2T xx,就以下说法错误选项_；4、 设 x 为 n维列向量, 且T x x1；E 为 n阶单位矩阵 ；令A H 是对称矩阵； B H 是可逆矩阵； C H 是正交矩阵； D H 是正定矩阵 .名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、运算题 每道题 9 分,共 36 分 1 1 1 1 12 1 1 1 1 n1、运算 n 阶行列式 D n 3 1 1 1 n 1n 1 n 1 1 11 6 0 01 7 0 0 12、设矩阵 A,求 A；0 0 2 70 0 1 33、设 A 是 3 阶方阵,互换 A 的第一、其次列,得矩阵 B；再将 B 的其次列加到第三列上得矩阵 C；求满意 AX C 的可逆矩阵 X ；T T T T4、设向量组 1 0,1,2,3, 2 3,0,1,2, 3 4, 1,0,1, 4 8,1,4,7 求它的一个最大无关组,并用此最大无关组表示其余向量；四、 15 分 已知线性方程组tx 1 x 2 x 3 1x 1 tx 2 x 3 t2x 1 x 2 tx 3 t（1） t 为何值时,无解,有唯独解,有无穷多个解？（10 分）（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）；（5