2022年新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思新课标高中数学基础学问求数列通项公式常用方法云南昭通 昭翼培训学校 陈培泽把握求数列通项公式的常用方法,是学习好数列这章学问的关键,高中新课标要求必需把握的方法有哪些呢？1. 观看 - 猜想 - 验证法：例 . 观看数列,写出它们的一个通项公式,（1）1 3 5 , , , 7,.2 4 8 16（2）1, 1, 3, 1, 5,.2 13 10 121（3） 6,66,666,6666,.解：（1）观看分子：1,3,5,7. 可以用 2n 1表示；再观看分母：2,4,8,16,. 可以用 2 n 表示,这样数列通项就可以表示为：a n 2 nn 1,最终逐项验证,都成立,就完成了；2n 12 一 下 观 察 不 出 规 律 , 先 把 系 数 和 分 式 分 开 , 系 数 为 1； 再 观 察 分 式 ：1 3 1 51, , , , ,. 也难观看出规律,估量是约掉了公因数,把每一项表示成分数,再把2 13 10 121分子分母同乘以 2 或 3, 等,并且简单看出要使分子,分母,逐项增大,再进行观看：2 4 , , 6 , 8 , 10 ,.,这时简单得出结论了,a n 1 n 1n 2 n. 2 8 26 80 242 3 1（3）变形为： 6 1,6 11,6 111,6 1111,. ,再变形为：6 9,6 99,6 9996 9999,.9 9 9 9再变形为：210 1, 210 21, 10 2 31, 210 41,.,所以 a n 210 n1 . 3 3 3 3 3小结： 1并不是每一个数列都可以写出它的通项公式,例如：列；2 的不足近似值构成的数2 数列即使有通项公式,通项公式也并不唯独,例如：1,0,1,0,.a n1n 11；2an|sinn|,a n1 n 为奇数）（ 为偶数）都是这个数列的通项公式；n 项和,满意2 a ns 2n1,求通22.已知 a n是等差或等比数列,求an例（ 1）已知数列 a n是等差数列,公差d0 ,S 为数列前项公式 an . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：数列 a n是等差数列,满意2 a ns 2n1,令n1,有2 a 1a 1,a 10 或a 11. 令n2,有2 a 2s 3, a 12 d 3 a 13 d,d0a d10或a 11或a d11. a 2a 3|10,3d12a n3 n3或a n2n或a n2 n1.125,求数列 a n的通项公式；2已知等比数列 a n满意|a 2a 3| 10,a a a 3解：设数列首项为a ,公比为 q,a a a 3125,3 1aq3125, 2 a5,代入|解得a 35或a 315 ,a 15, q1或a 15 , 3q3,a nn 1 5或a nn 5 32. 小结： 在已知数列是等差或等比数列的情形下,一般用前三项建立方程,就可求得通项,要防止小题大做；名师归纳总结 求递推数列通项公式,常见题型和方法有：a3. 形如：a n1a nf n ,用累加法：例：数列 a n,a 12 a2 a2,a n1a n2 na 1,求通项公式a. 解：a n1a n2 n2 a1,用用累加法a n a na n1 a n1a n2 a n2an3 a 2a 1a 1a就 .1a n2 n12 a1 2 n22 a12 12 a2 1 a2 a2= 2 n a1.小结 ：留意在变形题中,使用累加法,例如：a n1a p qn题型,两边取对数,得：lga n1lga nlgpnlgq,就可以使用累加法了；练习：（1）已知数列满意：a 11,a n1a nn n 3,求a . （2）已知数列a n中,a 11,a n12 a nn 3,求数列的通项公式a . 4形如：a nn1f n 用累乘法：a例：已知数列满意：a 11,a 12a 23a 3.nann21an1,求a . 解：设s na 12 a 2n 3 a 321.n,.nns n1a12a23an3n .22 n.,两式相减,得：a .n 1an n23 n1 a2,1 2aa1nn第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即：an13 n1,ann名师归纳总结 anan1a n1a n2a2a 13 n1 3 n2 3 n33 13n1. 第 3 页,共 7 页anan2an3a1nn1n22n小结： 累乘法和累加法都是新课标中要求把握的重要方法,要熟识其变形题,a n1a f n , a n1 an ,等；练习：（1）已知数列满意：a 11,a n1nan,求通项公式a . n+1（2）已知数列满意：a 14,a n1n 3a nn 2 32,求通项公式a. 5.形如：a n 1panq（其中 p,q 均为常数,pqp1 0）用待定系数法; 设a n1xp anx ,即：a n1pa np1 x ,比较a n 1panq,得：xpq1. 例：（1）已知数列满意：a 11,a n12 a n1,求通项公式a. 解：p2,q1xpq11,a n112 a n1,a n1是首项为a 112 ,公比q2的等比数列,a n2 n1. 练 习 ： 在 数 列a n中 , 如a 11,a n12a n3 n1, 就 该 数 列 的 通 项a n_ 6.形 如 ：a n1pa nn q（ 其 中p, q 均 为 常 数 ,pqp1 q1 0 ）；（ 或a n1pa nrqn,其中 p, q, r 均为常数）设a n1n xq1p a nxqna n1pa nnx p q q ,比较：a 1pa nn q,xp1q. 例：（1）已知数列a n中,a15,an11a n1n1,求a . 632解：设an12x11 3a nx,an11a nx1 2n1,an11an1n1,n2n3332- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思比较得：x3,a nn3是首项为a 1a n31 22 3,公比为1 3的等比数列；2n2所以数列通项公式为：a32. 2n3n（2）已知数列an中,1a5,a n11n,求a . 63解：因p1,q1,由公式xp1q6,所以数列a n6是首项为a 1313,322n6公比为1 3的等比数列,所以通项为a n6213n. 2n3小结：（1）符合题型时直接代公式,是变形题时用待定系数法；（2）用构造法：例：已知数列an中,a 15, a n13 a nn 21,求a . 解：两边同除以2n1,整理得：a n13an1,bnan,b n13b n1,n 212 2n2n2xpq12,b n2是首项为9,公比为3的等比数列22bn93 2n12an2nbn9 3n12n1,. 2练习：（1）已知数列an中,a 15,a n13 a nn 2,求a .（建议用不同方法解同一题,学习成效会更佳； ）名师归纳总结 2 如已知数列a n中,a 15, a n13 a nn 5 2,求anS nS n 1代 入第 4 页,共 7 页7. 递推公式为S 与a 的关系式； 或S nf a n解 法 ： 这 种 类 型 用a nS n12与 消 去S nn2 或 用a nS nS n1 nS nf a n,求出S,再求a. 例： 1已知数列a n前 n 项和S n2a n311,a 11,求a . n21an1,解：S n2an311,s n12a n11,后式减前式,得：an1n3n2n 3p1,q1,xp1q6,an6是首项为a 125,公比为1 2的等比数列；3n232an56. 2n3n2 已知S 是数列a n的前 n 项和,a n2 2 s n1,求a n2 s n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：n2时有：a ns ns n12 2 s n1,22 s n2 s ns n1s ns n12 2 s . 2 s n1 1 1 12,又 3, 是公差为 2,其次项为 3 的等差数列,s n s n 1 s 2 s n21 3 n 2 2 2 n 1,ns 1, 代 入 a n 2 s n, 化 简 , 得 ：s n 2 n 1 2 s n 11, n 1a n2 n 13 22 ,a n 2 n 2 . 2 n 13 2 小结： 只有 n 2 时 a n s n s n 1 才成立,如从其次项起是等差数列,用 a n a 2 n 2 dn 2是等比数列用 a n a q 求 a （n 2）再验证 a 是否成立,如成立,写出通项；如不成立就用分段式 a n a , n 1n N 表示；a n , n 2练习：名师归纳总结 已知nS 是数列an的前 n 项和,a 12,a 23,s n1s n12 s n2,n2,求a . 代第 5 页,共 7 页8.形如：a n1a na n1a 式,两边同乘以an1an 转换方法1解：对：a n1a na n1a 两边同乘以a n1a n,移项,得：111,1a nan数列1是公差为,首项为1的等差数列；11n1,取倒数,有：ana 1ana1an1a 1a 1n . 1例：已知数列a n,a 11, a n1a n2 a n1a 求数列的通项公式a ；解：此题可仿照上边方式推出结果,也可以利用公式an1a 1a 1n ,a 11,2,1入,得：a n31n. 2小结：（！）题型可以变换,例如：a n1an1,只是形式上不同,实质一样,只需等式a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思两边取倒数就行了；一般以分式形式显现的变式an1kank,k0,0,都是此题类a n型,大家不妨推导出通项公式；9.形如 a n a n 1 f n类型：举例说明,已知数列 a n,a 1 1,a n a n 1 3 n 1,求数列的通项公式 a . 解：a n a n 1 3 n 1,令：n 2 k 1, 有：a 2 k 1 a 2 k 6 k 2. 1 n 2 , 有：a 2 k a 2 +1 6 +1. 2 n 2 +1, 有：a 2 +1 a 2 +2 6 +4. 3 由（ 2）（ 1）,得：a 2 k 1 a 2 k 1 3,数列的奇数项构成公差是 3,首项是 1 的等差数列,a 2 k 1 1 k 1 3 3 k 2 . 由（ 3）（ 2）,得：a 2 k 2 a 2 k 3,数列的偶数项构成公差是 3,首项是 3 的等差数列,a 2 k 3 k 1 3 3 k . 10. 通过求数列周期和运用数学归纳法求通项：对于某些数列不易直接求出通项时,可以先求出a a a 3.,看是不是存在周期,假如存在就可以求出 an ,假如不存在,再归纳出an ,最终用数学归纳法证明；名师归纳总结 例： 1已知数列a n满意a 10 ,an1ann3 nN*,求a,期,第 6 页,共 7 页3 a1解：a 10,a 23,a 33,a 40,存在周0,n3 T3,a n3,n3k1 k2* N. 3, n3 k1,求数列的通项公式a . 2 已知数列a n,1a2,a n12 a nna n解：a 12,a 23,a 34,a56,. 猜想：a nn1,现在用数学归纳法予以证明；1） 当n1时,左边 =右边 =2,结论成立；2） 当 nk 时,假设结论成立,a kk1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 nk 时,an111ka k1k12k k11k2k11,结论也成立；an由 1）,2）知： nN 时：a nn1. 小结：（1）这类题是用从特别到一般的方法处理,如是周期数列,先求出周期,再求通项,形如：a n111,a n2a n1a , 都是周期数列；如不是周期数列,就归纳出通项,an再用数学归纳法给以证明；数学归纳法 练习：1）,2）两个步骤缺一不行；名师归纳总结 已知数列114,41, 7 71,., 1031,ns 是数列的前1n 项和, （ 1）运算：第 7 页,共 7 页23ns ,s ,s ,s；（2）求ns . - - - - - - -