李庆扬-数值分析第五版第章习题答案.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 5 章复习与摸索题a1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能显现k0 的情形，这时消去法无法进行。即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结akkkk时主元素k0 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严峻增长和舍入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结误差的扩散， 最终也使得运算不精确。因此高斯消去法需要选主元，以保证运算的进行和运算的精确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用挑选主元。运算时一般挑选列主元消去法。2、高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？ A 要满意什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。用 LU 分解解线性方程组可以简化运算，削减运算量，提高运算精度。A 需要满意的条件是，次序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU 分解的一种，当限定下三角矩阵L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯独解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法运算稳固？ 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此， 是一个稳固的算法。5、什么样的线性方程组可用追逐法求解并能保证运算稳固？ 对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法就。正定性齐次性三角不等式设 x 为向量，就三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |1n| xi |i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n122| x |2xi i 1| x |max | xi |1 i n7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = ai j 的三种范数 |A| 1，|A| 2，|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A| ，|A| 1 与 |A| 2 哪个更简单运算？为什么？向量范数定义见p162，需要满意四个条件。正定条件 齐次条件 三角不等式相容条件矩阵的算子范数有| A |1| A |2| A |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从定义可知，| A |1 更简单运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA18、什么是矩阵的条件数？如何判定线性方程组是病态的？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：设 A 为非奇特阵，称数cond A vvv （ v1,2,）为矩阵A 的条件数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 condA1 时，方程是病态的。9、满意下面哪个条件可判定矩阵接近奇特？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素肯定值小。接近奇特阵的有（1）、（ 2）注：矩阵的条件数小说明A 是良态矩阵。矩阵的元素肯定值小，不能说明行列式的值小等。10、判定以下命题是否正确：（1）只要矩阵A 非奇特，就用次序消去法或直接LU 分解可求得线性方程组Ax = b 的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法运算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）假如 A 非奇特，就Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的打算的。答：正确。说明：如A|b 与 A 的秩相同，就A 有唯独解。如不同，就A 无解。（5）假如三对角矩阵的主对角元素上有零元素，就矩阵必奇特。（6）范数为零的矩阵肯定是零矩阵。答：正确。（7）奇特矩阵的范数肯定是零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答：错误，可以不为0。（8）假如矩阵对称，就|A| 1 = |A| 。答：依据范数的定义，正确。（9）假如线性方程组是良态的，就高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。（10）在求解非奇特性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。T答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（11） |A |1 = |A | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：依据范数的定义，正确。（12）如 A 是 nn 的非奇特矩阵，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cond Acond A1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：正确。 A 是 nn 的非奇特矩阵，就A 存在逆矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据条件数的定义有：condA condA 1 AA 1A 1 A 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、设 A 是对称阵且a11习题a0，经过高斯消去法一步后，A 约化为a111T，证明A2 是对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称矩阵。证明：设对称矩阵Aa11a12.a1n a12a22.an 20A2，就经过1 次高斯校区法后，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a0aa1na12a12a2 na.annaa1naa1n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1221211n21211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a110aa2n a12a12a1n a11aa12.a.aann a1na12a1n a11aa12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a221211n 21n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0aa1n a.aa1n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 21211nn1n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a所以 aT a.a112n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a22a12 aa12.an2a12 aa1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111A2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa1n a.aa1n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 212a11所以 A2 为对称矩阵。nn1na11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 A aijn ，其中 Aaij n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aA22ijn 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（ 1）A 的对角元素aii0i1,2, n 。（ 2）A2 是对称正定矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）依次取 xi0,0,0,1,0,i,0 T ,i1,2, n ，就由于 A 是对称正定矩阵，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有a iix T Ax0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） A2 中的元素满意a 2 ijaijai1 a1 j,a11i , j2,3, n ，又由于 A 是对称正定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵，满意aija ji ,i, j1,2, n ，所以a 2ijaijai 1a1 ja11a jia1i a j1a11 2 a，ji可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 A2 是对称矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、设Lk 为指标为 k 的初等下三角矩阵（除第 k 列对角元以下元素外，Lk 和单位阵 I 相同），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即1.1Lkm1k 1,k.mn, k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证当i, jk 时， LkI ij Lk Iij也是一个指标为k 的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵。4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU 的运算公式，其中L 为下三角矩阵， U 为单位上三角矩阵。此题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设 Uxd ，其中 U 为三角矩阵。（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）运算解三角方程组Uxd 的乘除法次数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）设 U 为非奇特矩阵，试推导求U1 的运算公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开头， 逐步运算 n-1,1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）假如 A 是对称正定矩阵，就A 1 也是对称正定矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）假如 A 是对称正定矩阵，就A 可以唯独的写成ALT L ，其中 L 是具有正对角元的下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x118x13 x23x23 x315x315可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x36并求出系数矩阵A 的行列式的值1233A1831111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A | b1233151831151116可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使用列主元消去法，有123315可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A | b1831151116可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18311512331511161831150175361861831150717310717316186017537173161861831150006666217A 的行列式为 -66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解111x1x2x39456可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x1 x1 x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1233451 xx2x82123111456111345112100110111111456011136090此题考查LU 分解。解：A2L32U00957540可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、用追逐法解三对角方程组Axb ，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结210001121000A01210，b0。001210000120解：追逐法实际为LU 分解的特别形式。设U 为、单位上三角矩阵。有（1）运算i 的递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1c1 / b11/ 20.52c2 / b2a211/ 210.52 / 33c3 / b3a321/ 212 / 33/ 44c4 / b4a43 1/ 213/ 44 / 5（2）解 Ly=fy1f1 / b11/ 2y2 f2a2 y1 / b2a21 011/ 2 / 210.51/ 3y3 f3a3 y2 / b3a32 011/ 3 / 212 / 31/ 4y4 f4a4 y3 / b4a43 011/ 4 / 213/ 41/ 5y5 f5a5 y4 / b5a54 011/ 5 / 214 / 51/ 6（3）解 UX=yx5y51/ 6x4y44 x51/ 54 / 51/ 61/ 3x3y33 x41/ 43/ 41/ 31/ 2x2y22 x31/ 32 / 31/ 22 / 3x1y11x221/ 22 / 35/ 610、用改进的平方根法解方程组211x14123x25。131x36此题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见 P157可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1019, x27 , x23 。939可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、以下矩阵能否分解为LU （其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？如能分解，那么分解是否唯独。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12A2431， B111221， C1262515。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结46733161546可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -LU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的全部子式都非零。假如要求其中的 L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯独的。同理可知，矩阵的 LDU 可分解条件也相同， 并且总是唯独的。即使矩阵不行逆，LU 仍旧可能存在。实际上，假如一个秩为k 的矩阵的前k 个次序主子式不为零，那么它就可以进行LU 分解，但反之就不然。解：由于 A 的一、二、三阶次序主子式分别为1，0，-10 ，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。由于 B 的一、二、三阶次序主子式分别为1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。由于 C 的一、二、三阶次序主子式分别为1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯独的。12、设0.60.5A，0.10.3运算 A 的行范数，列范数，2- 范数及 F- 范数。此题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82- 范数的运算需要用到特点值，特点值的运算可以使用幂法进行运算，也可以直接求。AT A 的最大特点值为0.3690所以 2- 范数为 0.6074F- 范数 0.842613、求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（a） xx 1n x（b） 1AAnF2。A F 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义求证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xmax xinx 1xin max xin x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i ni 11 i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A121nFnna2iji , j 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nnpA 2max AT A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、设 PR n且非奇特，又设x 为 R 上一向量范数，定义xPx。试证明x p 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Rn 上向量的一种范数。依据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结显 然 x pPx0 ， cx pPcxc Pxcx p 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2pP x1x2 Px1Px2Px1Px2x1px2p，从而x是 R n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p上向量的一种范数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、设 AR n n 为对称正定，定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nAx Ax, x 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试证明x A 是 R上向量的一种范数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结显 然 x A1 Ax, x 2xT Ax0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cx A Acx,cx 2c2 xT Axc Ax, x 2c x A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx Axx, xx1 2 xxT A xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 A12121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x T Axx T Axxx11221 A2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16、设 A 为非奇特矩阵，求证1 minAy。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 为 A 1max1A 1 xAy 0A 1 xmaxyy1max，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0xx 0AA 1 xy A 1x 0AyAymin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以得证1minAyy 0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1y 0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17、矩阵第一行乘以一数，成为此题考查条件数的运算2A，证明当112 时， cond A3有最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cond AA 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一运算A 的逆阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11A 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2| 3|2| 3| 3|2 ，当23 ，取得最小值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 11|2|，当取值越大，就最小值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 cond AA 1A 12max 3,2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2又当时，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cond A 12max 3,2 3227。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当时，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cond A 12max 3,2 123367 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，cond A7 时最小，这时2 ，即2 。33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10099可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18、设A，运算 A的条件数cond A vv2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100由 A999998991可知， A98989999100，从而可编辑资料 - 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