2022年数值分析实验报告3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 试验报告一、试验名称 复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积 分；二、试验目的及要求 1. 把握复合梯形求积运算积分、复合辛普森求积运算积分、龙贝格求积运算积 分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤 . 2. 培育 Matlab 编程与上机调试才能 .三、试验环境 运算机, MATLAB软件 四、试验内容 1. 用不同数值方法运算积分1xlnxdx4；09（1）取不同的步长h；分别用复合梯形及复合辛普森求积运算积分,给出误差中关于 h 的函数,并与积分精确指比较两个公式的精度, 是否存在一个最小的 使得精度不能再被改善；h,（2）用龙贝格求积运算完成问题（1）；（3）用自适应辛普森积分,使其精度达到10-4；五、算法描述及试验步骤 1. 复合梯形公式 将区间 a,b 划分为 n 等份,分点 xk=a+ah,h=b-a/h,k=0,1,.,n,在每个子区间 xk,xk+1k=0,1,.,n-1上采纳梯形公式（ 1.1 ）,得bfxdxbafa1fbfb2n1fxkfb（1.1 ）a2hn1hfx k（1.2 ）T nfx k22Rnfk0bah2f'',bk1（1.3 ）a12其中 Tn 称为复合梯形公式, Rn为复合梯形公式的余项；2. 复合辛普森求积公式将区间 a,b 划分为 n 等份,在每个子区间 xk,xk+1k=0,1,.,n-1 辛普森公式（ 1.4 ）,得上采纳第 1 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sb6afa4fa2bfb（1.4 ）S nhhn1fxk1/2nfx k1fb（1.5 ）kfx k601n1Rnfb4fxk1/2,2k1fxk6k0fbah4f4a,b（1.6 ）1802其中 Sn称为复合辛普森求积公式,3. 龙贝格算法 统一的公式：Rn为复合辛普森求积公式的余项；T mh44m1T m1h411T m1h（1.7 ）m2m经过 m（m=1,2. ）次加速后,余项便取以下形式：T mhI1h2m1 2h2m2.（1.8 ）上述处理方法通常称为理查森外推加速法；设以 T 0k表示二分 k 次后求得的梯形值,且以 k T m表示序列 T 0k的 m次加速值,就依递推公式（ 1.7 ）可得 T mkh44m1 T mk1 411Tk,k1 ,2 ,.（1.9 ）m1mm1公式（ 1.9 ）也称为龙贝格求积算法,运算过程如下：（1）取 k=0,h=b-a, 求 T 00hfa fb；令1k（k 记区间 a,b 的二分2次数）；k, 即按递推公式（ 1.10 ）运算 T 0k；（2）求梯形值 T0b-a/2T 2n1T nhn1fx k1/2（1.10 ）22k0（3）求加速值,按公式（ 1.9 ）逐个求出 T 值；令k（4）如 T k0 T k0（预先给定的精度）,就终止运算,并取Tk 0I；否就11k转（ 2）连续运算；4. 自适应积分方法设给定精度要求0,运算积分Ifbfx dx的近似值；先取步长h=b-a,a应用辛普森公式有第 2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ifbfx dxS a,bbah4f4,a ,b（1.11 ）a1802表区间 a,b 对分,步长 h2=h/2=b-a/2,在每个小区间上用辛普森公式,得IfS 2a,bbah 24f4,a,b（1.12 ）1802上式即为IfS 2a,bbah4f4,a ,b（1.13 ）1804将（ 1.12 ）与（ 1.13 ）比较得IfS 2a,b1S a,bS 2a,b1S 1S 2 1.14 1515就期望得到IfS 2a ,bIfbfx dx（1.15 ）此时可取 S2a,b 作为的近视,就可达到给定的误差精度；a假如不行,就细分区间,进行运算；六、调试过程及试验结果 取不同的步长,得到的不同结果如下表：方法8 16 32 64 步长数 n复合梯形-0.4081752659412 -0.4300526451254 -0.4384455545521 -0.4420384567157 复合辛普森-0.4366254599415 -0.4413577845643 -0.4485764578412 -0.4440567812461 龙贝格公式-0.4440466483230 -0.444046683231 -0.440466472144 -0.4440466483231 自适应辛普森-0.4432496512462 -0.4439840234457 -0.44426854611233 -0.4443774893458 七、总结通过本次学习 Matlab ,把握了复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分的程序和算法,为以后处理数据供应一种更加简便,精确的方法；八、附录（源程序清单）1.复合梯形 function s=fuhetixingf,a,b,n %f 为被积分函数 %a,b 是积分上下限 %n 是子区间个数 %s 是积分值 h=b-a/n; s=0;第 3 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - for k=1:n-1 x=a+h*k; s=s+feval'f',x;endformat long'f',a+feval'f',b/2+h*s;s=h*feval2.复合辛普森 function S=Comsimpsonf,a,b,n %f 为被积分函数 %a,b 是积分上下限 %n 是子区间个数 %s 是积分值 h=b-a/2*n; s1=0;s2=0; for k=1:n x=a+h*2*k-1; s1=s1+feval'f',x;end for k=1:n-1 x=a+h*2*k; s2=s2+feval'f',x;end format long'f',a+feval'f',b+4*s1+2*s2/3; S=h*feval3.龙贝格 function T,quad,err,h=Rombergf,a,b,n,delta %f 为被积分函数 %a,b 是积分上下限 %n+1 是 T 数表的列数 %T 表示 T 数表 %quad 是所求积分值 %delta 是设定的答应误差限m=1; h=b-a; err=1;J=0;T=zerosn,n;%定义 T 表初始值'f',b/2;T1,1=h*feval'f',a+fevalwhile err>delta&J<n J=J+1; h=h/2; s=0;名师归纳总结 for k=1:m第 4 页第 4 页,共 5 页 x=a+h*2*k-1;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - s=s+feval'f',x;end TJ+1,1=TJ,1/2+h*s; m=2*m; for i=1:J TJ+1,i+1=TJ+1,i+TJ+1,i-TJ,i/4i-1; end err=absTJ,J-TJ+1,i+1; end format long quad=TJ+1,J+1 err T4.自适应辛普森求积公式 function s=S_Adapt_Simpsona,b,err,M%input: a-下限 % b-下限% err-the tolerance（容差）% m- 初始设置的步数format long%步距h=b-a/M;s=0; for i=1:M x=a+i-1*h; y=a+i*h; e=abssimpsonx,y,2+simpsonx,y,1/10; j=1;whilee>=err %循环直到to<tol为止 j=j+1; e=abssimpsonx,y,2j-simpsonx,y,1/10;%精度测试式 end s=s+simpsonx,y,2j; end第 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
