2022年椭圆知识点总结及经典习题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线与方程 - 椭圆学问点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1,F2 距离的和等于常数2 aF 1F2的点的轨迹叫做椭圆,即点集 M=P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a|F 1F2|=2c ；这里两个定点 F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c；（2 aF 1F2时为线段F 1F2,2 aF 1F 2无轨迹）；2标准方程：c2a2b2焦点在 x 轴上：x2y21（ab0）； 焦点 F（± c,0）a2b2焦点在 y 轴上：y2x21（ab0）； 焦点 F（0, ± c）a2b2留意：在两种标准方程中,总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：x2y21或者 mx2+ny 2=1 mn二椭圆的简洁几何性质： 1. 范畴（1）椭圆x2y21（ab0） 横坐标 -a xa , 纵坐标 -b xb a2b2（2）椭圆y2x21（ab0） 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a xa a2b2 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点（1）椭圆的顶点： A1（-a ,0）,A2（a,0）,B1（0,-b ）,B2（0,b）（2）线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 圆的长半轴长和短半轴长； 4 离心率1 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即c 称为椭圆的离心率,a2a e记作 e（0e1）,2 ec21b2a2ae0 是圆；越接近于 0 （e 越小）,椭圆就越接近于圆 ; e 越接近于 1 （e 越大）,椭圆越扁；留意：离心率的大小只与椭圆本身的外形有关,与其所处的位置无关；小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、（共四个量）,特点三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点P x 0,y 0在椭圆2 xy21 ab0的内部x 0 2y 0 211. 2a2b2a2b（2）点P x 0,y 0在椭圆2 xy21 ab0的外部. 2 x 02 y 02a2b2a2b6. 几何性质（1）点 P在椭圆上,最大角F PF 2maxF B F 2,（2）最大距离,最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题讲解：一. 椭圆定义：方程 x 2 2y 2x 2 2y 2 10 化简的结果是2如 ABC 的两个顶点 A 4,0 , B 4,0,ABC的周长为 18,就顶点 C 的轨迹方程是2 23. 已知椭圆 xy =1 上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为 3, 就 P 到另一焦点距离为16 9二利用标准方程确定参数1. 如方程5x2k+k2 y3=1（1）表示圆,就实数k 的取值是 . （2）表示焦点在 x 轴上的椭圆,就实数（3）表示焦点在 y 型上的椭圆,就实数k 的取值范畴是 . k 的取值范畴是 . （4）表示椭圆,就实数k 的取值范畴是 . 焦距是, 顶 点 坐 标2. 椭 圆4x225y2100的 长 轴 长 等 于, 短 轴 长 等 于是 ,焦点的坐标是 ,离心率等于 , 3椭圆2 x2y221的焦距为 2 ,就 m= ,那么 k；4m4椭圆5xky5的一个焦点是0,2；三待定系数法求椭圆标准方程1如椭圆经过点 4,0 , 0, 3 ,就该椭圆的标准方程为；2焦点在坐标轴上,且 a 213,c 212 的椭圆的标准方程为3焦点在 x 轴上,a : b 2 : 1,c 6 椭圆的标准方程为4. 已知三点 P（5,2）、F （ 6,0）、F （6,0）,求以 F 、F 为焦点且过点 P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆4x29y236共焦点,且过点 3, 2 的椭圆方程；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四焦点三角形2 21椭圆 x y1 的焦点为 F 、F , AB是椭圆过焦点 1F 的弦,就 ABF 的周长是；9 252设 F ,F 为椭圆 16 x 2 25 y 2 400 的焦点, P 为椭圆上的任一点,就 PF 1F 2 的周长是多少？PF 1F 2 的面积的最大值是多少？2 23设点 P 是椭圆 x y1 上的一点,F F 是焦点,如 F PF 是直角,就 F PF 的面积25 16为；变式：已知椭圆 9 x 2 16 y 2 144,焦点为 F 、F , P 是椭圆上一点如 F 1PF 2 60,求PF 1F2的面积五离心率的有关问题1. 椭圆x2y21的离心率为1 ,就 m 24m2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0 120 ,就此椭圆的离心率 e为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,就椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,如 F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率；5. 在ABC中,A0 30|,AB|2 ,SABC3如以 A,B为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率 e六、最值问题：1、已知椭圆x21y21,A1,0 ,P 为椭圆上任意一点,求|PA| 的最大值最小4值；两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,就 |PF1| · |PF2| 的最大值为 _,2. 椭圆x22 y44 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 七、弦长、中点弦问题 1 、已知椭圆4x2y21及直yxm线（1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？（2）如直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程52 已知椭圆x2y21,2 1 求过点（ 1,0 ）且被椭圆截得的弦长为 2 2 的弦所在直线的方程（2）求过点 P 1,1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；2 2同步测试 1 已知 F1-8 ,0 ,F28 , 0 ,动点 P 满意 |PF1|+|PF 2|=16 ,就点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2 2 2 、椭圆 x y1 左右焦点为 F1、F2,CD为过 F1的弦,就 CDF 1 的周长为 _ 16 92 2 3 已知方程 x y1 表示椭圆,就 k 的取值范畴是 1 k 1 k A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1 或 k<-1 4、求满意以下条件的椭圆的标准方程 1 长轴长为 10,短轴长为 6 2 长轴是短轴的 2 倍,且过点 2 ,1 3 经过点 5 ,1 , 3 ,2 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 椭圆x22 y1ab0的左右焦点分别是F1、F2,过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P点；a22 b如F1PF2=60° ,就椭圆的离心率为 _ 6 已知椭圆的方程为x2y21,P点是椭圆上的点且F PF260, 求PF F 的面积437. 如椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为F1,就满意 ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率为2 28. 椭圆 x y 1 上的点 P到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它的右焦点的距离是100 362 29已知椭圆 x2 y 1 a 5 的两个焦点为 F 、F ,且 F 1F 2 8,弦 AB过点 F ,就ABF 2a 25的周长210、椭圆 x y =1与椭圆 x y = 0 有3 2 2 3 A 相等的焦距 B 相同的离心率 C 相同的准线 D 以上都不对2 2 2 211、椭圆 x y 1 与 x y 1（0<k<9）的关系为25 9 9 25 A 相等的焦距 B 相同的的焦点 C 相同的准线 D 有相等的长轴、短轴2 212. 点 P 为椭圆 x y 1 上的动点 , F 1, F 2 为椭圆的左、右焦点 , 就 PF 1PF 2 的最小值为25 16_ , 此时点 P 的坐标为 _. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 感受高考2 21分别过椭圆x a 2y b 21a>b>0的左、右焦点 F1、F2 作两条相互垂直的直线 l 1、l2,它们的交点在椭圆的内部,就椭圆的离心率的取值范畴是 2 2 2A0,1 B. 0,2 C. 2,1 D. 0,22 22椭圆x 100 y 641 的焦点为 F1、F2,椭圆上的点 P 满意 F1PF260°,就 F1PF2 的面积是 A. 64 3 3 B.91 3 3 C.16 3 3 D.64 33已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,就椭圆 E 的离心率等于 2 24 已知点 F,A 分别是椭圆x a 2y b 21a>b>0的左焦点、右顶点, B0,b满意 FB ·AB 0,就椭圆的离心率等于 A.312 B. 512 C. 31 2 D. 5 122 25已知椭圆x 4y 21 的左右焦点分别为F1、F2,过 F2 且倾角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,以下结论中：ABF1 的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|8 3；正确结论的个数为 A3 B2 C1 D0 6已知圆 x2 2y 236 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N2,0,线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,就动点 P 的轨迹是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2 27过椭圆 C：x a 2y b 21a>b>0的一个顶点作圆 x 2y 2b 2 的两条切线,切点分别为 A,B,如 AOB90°O 为坐标原点 ,就椭圆 C 的离心率为 _7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 28 如椭圆x a 2y b 21a>b>0与曲线 x 2y 2a 2b 2 无公共点,就椭圆的离心率e 的取值范围是_2 29已知 ABC 顶点 A4,0和 C4,0,顶点 B 在椭圆x 25y 91 上,就 sinAsinC_. 2 210已知椭圆 C：x a 2y b 21a>b>0的长轴长为 4. . 1如以原点为圆心、 椭圆短半轴为半径的圆与直线 yx2 相切,求椭圆 C 的焦点坐标；11椭圆 E 经过点 A2,3,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e1 2. 1求椭圆 E 的方程；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页