2022年思法数学初升高衔接讲义第讲一元二次不等式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第 7 讲 一元二次不等式一【学习目标】1. 把握一元二次不等式的解法步骤,能娴熟地求出一元二次不等式的解集；2. 把握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系；二【学问梳理】1. 一元二次不等式的定义：象x25x0这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式2. 一元二次不等式的一般式：2 a x任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 ：ax2bxc0, 或b xc0 a0 称为一元二次不等式的一般式. 3. 探讨一元二次不等式的解法：怎样求不等式x25x0的解集呢？画出二次函数yx25x 的图象,如图：观看函数图象,可知：2不等式 x 5 x 0 的解集是 x | 0 x 5 . 一 般 地 , 怎 样 确 定 一 元 二 次 不 等 式 ax 2bx c 0 与2ax bx c 0 的解集呢？（ 1）抛物线与 x 轴的相关位置的情形,分为三种情形,这可以由一元二次方程2 2ax bx c 0 的判别式 b 4 ac 三种取值情形 0 ,0 ,0 ）来确定也就是一元二次方程 ax 2bx c 0 的根的情形；2（2）抛物线 y ax bx c 的开口方向,也就是 a 的符号（对一元二次不等式,a 0可以转化为 a 0）总结争论结果：a 0,分 0 ,0 ,0 三种情形,得到一元二次不等式2 2ax bx c 0 与 ax bx c 0 a 0 的解集4. 三个二次的关系表（a 0）：2b 4 ac 0 0 0二次函数名师归纳总结 yax2bxc有两相异实根2有两相等实根b无实根第 1 页,共 6 页a0的图象一元二次方程ax2bxc0x 1 , x2 x 1x 2x 1x2b2aax2bxc0x xx 1 或xxx xR a0的解集02 aax2bxcx x 1xx2a0的解集- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 解一元二次不等式的步骤：一元二次不等式的解法一般依据“ 三步曲” ：第一步：化二次项的系数为正数；其次步：求解相应的一元二次方程的根；第三步：依据根的情形结合图象写出一元二次不等式的解集解集点拨：（ 1）数形结合,不要死记；（2）开口方向,根的情形三【典例精析】例 1. 解以下不等式：（1）23x2x20；12,. （2） x2+2x30；（3）x24x+4 0. 解： （1）原不等式等价于2x2-3x-2>0 ,原不等式的解集是,2（2）原不等式等价于:x2-2x+3<0 由 0,知原不等式解集为. x|x R,且x 2 ；（3） = 0,方程 x24x+4=0 有等根x 1x 22,原不等式的解集为点拨： 1. 要严格按“ 解法步骤” 求解；2. 最终要用集合表示法表出解集；如本倒的（,21）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集,该题的解集也可用区间表为2,但有的同学把第（3）题的解集表为 x 2,这是错误的；名师归纳总结 例 2. 解不等式1x2xx2x10. 第 2 页,共 6 页解： 对一切 xR 恒有 x2+x+10,原不等式等价于1+x2-x0 1x2x01x2. 原不等式的解集为（1,2）. 例 3. 设全集为 R,已知Ax x x2x3x1,求e RA；解：x x2x3x12x2x101x1. 2故A1 ,1 2. e RA,11,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 解关于 x 的不等式 x 2ax2a 20. 点拨： 解答此题通过因式分解,结合二次函数图象分类争论求解x12a,解： 方程 x2ax 2a20 的判别式 a 28a29a20,得方程两根x2 a. 1 如 a0,就 ax 2a,此时不等式的解集为 x| ax 2a ；2 如 a0,就 2ax a,此时不等式的解集为 x|2a x a ；3 如 a0,就原不等式即为 x 20,此时解集为 . 综上所述,原不等式的解集为 当 a0 时, x| ax2a ；当 a0 时, x|2a x a ；当 a0 时, . 例 5. 如不等式 ax2bx c0 的解集为 x|3x 4 ,求不等式 集点拨： 依据已知的解集和有关一元二次不等式的解集结论逆向推出进而求解另一不等式bx22axc3b0 的解a,b,c 满意的关系,解： ax2bxc0 的解集为 x|3x 4 , a0 且 3 和 4 是方程 ax2bxc0 的两根,名师归纳总结 由根与系数的关系得34b a,即b a,不等式 bx22axc 3b0 第 3 页,共 6 页3× 4c a,c 12a,可化为 ax2 2ax15a0,即 x22x150,故所求的不等式的解集为x|3x5 例 6. 已知Ax x23 x20,Bx x2a1xa0；（1）如 BA ,求 a 的取值范畴；（2）如 AB 是单元素集合,求a 取值范畴；点拨： 先解不等式化简集合A 和 B,再利用数轴表示两个集合的关系,求a 的取值范畴；解： 易得 A=1, 2 ；而Bxx1xa0；（1）如 BA ,利用数轴,得a 的取值范畴是1,2 ；（2）如 AB 是单元素集合,利用数轴,AB只能是集合 1. a 的取值范畴是,1 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四【过关精练】一、挑选题：1已知 ab,cd,且 a,b,c,d 均不为 0,那么以下不等式成立的是（）Aacbd Badbc Cacbd Dacbd2给出以下命题： ab ac 2bc 2； aba 2b 2； ab a 3b 3； ab a 4b 4,其中正确的命题是（）A B C D3集合 A xx 216,集合 B xx 2x 60,就 AB（）A 3,4） B （ 4, 2 C（ 4, 2 3,4） D 2, 34如不等式ax2 bx2 0 的解集为 x 2x1 4, 就 a, b 的值分别是（）Aa 8,b 10 Ba 1,b9 Ca 4,b 9 Da 1,b2 5不等式 x2ax40 的解集为空集,就a 的取值范畴是（）A 4,4 B（ 4,4）C（, 4 4,） D 二、填空题：（, 4）（ 4,）6不等式 1 620 的解集为a 的取值范畴7不等式（ a2）x22（a 2）x40,对一切实数x 恒成立,就实数是8设实数a,b, c 满意 bc64a3a2,c b44aa2,就 a,b,c 的大小关系是三、解答题：9已知集合A xx2 3x100,集合 B xp1x2p1,如 BA,求实数 P 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10 如实数 a 0,解关于 x 的二次不等式（x2）（ ax2） 011. 不等式（ a 2-1 ）x 2-a-1x-1<0 的解集为 R,求 a 的取值范畴；12. 已知全集 U=R,A=x|x 2-x-6<0,B=x|x 2+2x-8>0,C= x|x 2-4ax+3a<0, 如 AB C,求实数 a 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 7 讲 参考答案一、挑选题：1. D；2. B；3. C；4. C；5. A. 二、填空题：1 16x32； 7（ 2,2； 8cba提示： cb44aa 2（ 2a）20, cb2b（ bc）（ cb） 2a 22, ba 211 3b aa 2a1（ a2）240, ba故 cba三、解答题：9解： 由 x 23x100,得 2x5, A 2,5如 B ,就 B A,这时 p12p1,即 p2p12p1如 B ,就p1 22 p32p 15 综上可知, P 的取值范畴是p32 a10 解： 方程（ x2）（ ax2） 0 的两根为 2 和a 2 , （1）当 a0 时, 22 a,原不等式的解集为x2 ax2（2）当 0a1 时, 22 a,原不等式的解集为xx2 或 x（3）当 a1 时,原不等式变为（x2）20,解集为 xx 2 且 xR（4）当 a1 时, 22 a,原不等式的解集为xx2 a或 a2综上所述,原不等式的解集名师归纳总结 当 a0 时,为 x2 ax 2；当 a1 时,为 x x2 或 x2 a；第 6 页,共 6 页当 a1 时,为 xx 2 且 xR；当 a1 时,为 x x2 a或 a 211. 解： 当 a 2-1=0 时,只有 a=1, 才有 xR.当 a2- 1 0 时,由 a2-1<0 及 （a-1 ）2+4a2-1=5a2-2a-3<0 得3a1,综上所述：a3,1 5. 512. 解： A=-2,3,B=, -42,+ ,A B=2,3,C=x|x-ax-3a<0, 当 a<0 时,C=3a,a,A BC不行能成立当 a>0 时, C=a,3a,由 ABC得：a1,2- - - - - - -