2022年打印版高中数学必修四知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 4 学问点第一章 三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角2、象限的角 ：在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做 轴线角 ；第一象限角的集合为k360k36090 ,kkk360,kZ 其次象限角的集合为k36090k360180 ,第三象限角的集合为k360180k360270 ,k第四象限角的集合为k360270k360360 ,k终边在 x 轴上的角的集合为k180 ,k|终边在 y 轴上的角的集合为k18090 ,k终边在坐标轴上的角的集合为k90 ,k3、与角终边相同的角,连同角在内,都可以表示为集合4、弧度制：（ 1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制；半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是l r（ 2）度数与弧度数的换算：360o2,180 rad ,1 rad 18057 . 3057' 18注： 角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为o n ,弧度为；- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角度化为弧度：nono180on,弧度化为角度：o 180180o180（ 3）如扇形的圆心角为（是角的弧度数） ,半径为 r ,就：xx弧长公式：ln（用度表示的）180,l|r（用弧度表示的）；扇形面积：s 扇nr2用度表示的S 扇1|r21lr（用弧度表示的）360225、三角函数 :y（ 1）定义 ：设是一个任意大小的角,的终边上任意一点Px,y 的坐标是,x y ,它与原点的距离是rOPrx2y20,o就 siny, cosx, tany x x0rr. 定义 ：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,y那么 v 叫做 的正弦,记作sin ,即 siny;u 叫做 的余Px,y弦,记作 cos,即 cos=x; 当的终边不在y 轴上时,oy 叫做 的正切,记作 xtan, 即 tan=y . x（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正,S 正, T 正, C正；+ y + _ y + _ y + _ O _ x _ O + x + O _ x sincostan口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦（3）特别角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度064322 33 456- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin01 22 23 213 22 21 20cos1321 201 22312222tan03不存在30331133的角度210225240270300315330360的弧度7543571124323466sin10233211222222cos30312112222222tan3不存在313 303 31（4）三角函数线：如下图（5）同角三角函数基本关系式（）平方关系：sin2cos21（）商数关系：tansincos6、三角函数的诱导公式：1 sin 2ksin, cos 2 kcos, tan 2 ktank口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等2 sinsin, coscos, tantan- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantantan5 sin 2sin, cos 2cos, tan 2口诀：函数名称不变,正负看象限6 sin2cos, cos2sin, tan22cot7 sin2cos, cos2sin, tancot口诀：正弦与余弦互换,正负看象限诱导公式记忆口诀： “ 奇变偶不变,符号看象限”；即将括号里面的角拆成k2的形式；7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函ysinxycosxytanx数图象定RRx xk2,k- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 义域值值域：1,1值域：1,1；值域： R域当x2k2k时,当x2kk时,既无最大值也无最小值y max1；当x2 kymax1；当x2k2k时,ymin1k时,ymin1周ysinx 是周期函数； 周期为ycosx 是周期函数；周期ytanx 是周期函数； 周期T2k,kZ 且k0；为T2k,kZ 且k0期 为Tk,kZ且性最小正周期为 2最小正周期为2k0；最小正周期为奇偶奇函数偶函数奇函数性名师归纳总结 在2 k2,2k2上在k2,k2第 5 页,共 12 页单在 2 k,2kkk上是增函数；在调是增函数； 在 2 k,2k性2k2,2k3k上是减函数k上是增函数2k上是减函数对称中心k对对称中心对称中心k,0kk 2,0称对称轴xk2kk2,0kk性对称轴 xk无对称轴A 倍8、（ 1）ysinxb 的图象与ysinx图像的关系：图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原先的- 5 - - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 振幅变换：ysinxyAsinx图象上每个点的横坐标变为原先的1倍,纵坐标不变周期变换：ysinxysinx图象整体向左（0 ）或向右（0 ）平移个单位相位变换：ysinxysin x平移变换：yAsinx图象整体向上（b0）或向下（b0）ysinxbb注：函数ysinx的图象怎样变换得到函数yAsinxB 的图象：（两种方法）先平移后伸缩：ysinx平移 |个单位ys i nx（左加右减）纵坐标不变ys i n xB横坐标变为原先的|1| 倍Asinxy横坐标不变纵坐标变为原先的A 倍sinxyA平移 |B|个单位（上加下减） 先伸缩后平移：ysinx纵坐标不变|1| 倍ysinx横坐标变为原先的平移个单位sinxy- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （左加右减）横坐标不变A 倍yAsinxB纵坐标变为原先的平移 |B|个单位yAsinx（上加下减）（2）函数yAsinxbA0,0 的性质：；相位：x；初相：12振幅：；周期：；频率：f2定义域： R值域：Ab Abxkk时,ymaxAb ；T2当x2k2当x2k2k时,yminAb 周期性：函数yAsin2bA0,0 是周期函数；周期为单调性：x在 2k,22k上时是增函数；x在2k2,2k3k上时是减函数k2对称性：对称中心为k,0k；对称轴为xk2其次章 平面对量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为0 的向量叫零向量,记作0 ；零向量的方向是任意的ea|3、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量 a 平行的单位向量：| a4、平行向量 （共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作a /b；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规定 0 与任何向量平行5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等 . 留意：任意两个相等的非零向量,都 可以 用同一 条有 向线段 来表示,并且与有向线段的起点无关；6、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相接平行四边形法就的特点：起点相同 C 运算性质：a交换律： abba ；ybc；ab00aa abCbC结合律：abca坐 标 运算 ： 设ax y 1,x 2,y 2,就ab1x, 2x1y27、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算：设ax y 1 1,bx 1x 2,y 2,就,就abx 1x 2,y 1y 2,y 1,x 2,y 2设、两点的坐标分别为x 2x y 2y 18、向量数乘运算：- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 实数与向量 a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a a a ；当 0时,a的方向与a的方向相同；当 0时,a的方向与a的方向相反；当 0时,a 0运算律： a a ； a a a ； a b a b 坐标运算：设 a x y,就 a x y x , y 9、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 b a 设 a x y 1,b x 2 , y 2,其中 b 0,就当且仅当 x y 2 x y 1 0 时,向量 a 、b b 0共线10、平面对量基本定理：假如 1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 1 、2 ,使 a 1 e 1 2 e （不共线 的向量 2 1e 、2e 作为这一平面内全部向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1,x 2,y 2,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1y 21112、平面对量的数量积：定义：a ba bcosa0,b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 性质： 设 a 和 b 都是非零向量, 就aba b0当 a 与 b 同向时, a ba b ；当 a 与 b 反向时, a ba b ；a aa2a2或 aa a a ba b 运算律：a bb a ；aba bab；abca cb c 坐标运算：设两个非零向量ax y 1 1,bx 2,y 2,就a bx x 1 2y y 1 2如ax y ,就a2x22 y ,或ax2y2设ax y 1,bx 2,y 2,就abx x 2y y 20- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 a 、 b 都是非零向量,ax y 1,bx 2,y 2,是 a 与 b 的夹角,就cosa bx 1 2x x 2y y 2y 2 2a by 1 2x 2 2第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（）平方关系：sin2cos21（）商数关系：tansincos（）倒数关系：tancot1sin21tan22；2 c o s11tan2 t an留意：sin,cos,tan根据以上公式可以“ 知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S：sinsincoscossin2 btanb2 bcosxS：sinsincoscossinC：cosacoscossinsinC：cosacoscossinsinT：tantantan1tantanT：tantantan1tantan正切和公式：tantantan 1tan3、帮助角公式 ：asinxbcosxa22 baasinx22 aa2b2sinxcoscosxsin）a 2b 2sin xb a（其中称为帮助角,的终边过点 a,b,tan4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - S2：sin22sincosC2：cos2cos2sin212sin22cos21cos22|cos|；T 2：tan212tan2|sin|,1tan* 二倍角公式的常用变形：、1cos22 、11cos2|sin|,11cos2|cos|2222cos 211sin22；sin4cos412sin2cos221cos4sin4cos2；1cos 2* 降次公式：sincos1sin2sin222222 cos1cos21cos 212225、* 半角的正弦、余弦和正切公式：sin21cos；cos21cos,sincos|22tan21cos1cos1sin1cossincos；sin2|6、同角三角函数的常见变形：（活用“ 1”）sin21cos2；sin12 coscos21sin2；cos1sin2；tancotcos2sin22,sincossin22cottancos2sin22cos22cotsincossin21sincos212sincos1sin2；7、补充公式：- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 万能公式sin12tan22；c o s12 t an2；t an12t an22 tan12 t an22 t an2积化和差公式sincos1 2sinsincossin1 2sinsincoscos1 cos21 cos2coscossinsin和差化积公式sinsin2sin2cos2；sinsin2cos22sin22c o sc o s2c o s2c o s2；coscos2sinsin注： 带*号的公式表示明白,没带*公式为必记公式- 12 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页