2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-2）练习：第4章 3.1、3.2 定积分的简单应用 活页作业17 .doc

活页作业(十七)定积分的简单应用一、选择题1如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()ABCD解析：阴影部分的面积为(x)dx，故所求的概率P.答案：C2设f(x)在a，b上连续，则曲线f(x)与直线xa，xb，y0围成的图形的面积为()Af(x)dxBf(x)dxC|f(x)|dxD以上都不对解析：当f(x)在a，b上满足f(x)<0时，f(x)dx<0，排除A；当阴影部分同时存在于x轴上方与下方时，f(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C都正确答案：C3曲线y1x2与x轴所围成的图形的面积是()A4B3C2D解析：曲线与x轴的交点为，.故Sdx23.答案：B4如下图，曲线yx22x，直线x1，x1及x轴所围成图形(阴影部分)的面积为()AB2CD解析：S(x22x)dx(x22x)dx2.答案：B5过原点的直线l与抛物线yx22ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为()AyaxByaxCyaxDy5ax解析：设直线l的方程为ykx.由得交点坐标为(0,0)，(2ak,2akk2)故抛物线与x轴围成的图形的面积为S(2axx2)dx4a3a3a3<a3.直线l与抛物线的另一个交点在x轴上方抛物线与直线l所围成的图形的面积为Skx(x22ax)dxa3.ka.直线l的方程为yax.答案：B6如下图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：因为函数yex与函数yln x互为反函数，其图像关于直线yx对称，且函数yex与直线ye的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2.由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P.答案：7函数yxx2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积等于_解析：由xx20，得x0或x1.因此，所围成的封闭图形的面积为(xx2)dx.答案：8直线xk平分由yx2，y0，x1所围成的图形的面积，则k的值为_解析：作平面图形，如右图所示由题意，得x2dxx2dx，即x3x3.k3.解得k.答案：9计算由y2x，yx2所围成图形的面积解：如下图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线的交点的横坐标解方程组得出交点的横坐标为x0或x1.因此，所求图形的面积S(x2)dx.又因为xx2，所以S.10有一根弹簧，原长50 cm，每伸长1 cm需要5 N的力如果把它从60 cm拉伸到80 cm长，那么拉力所做的功为多少？解：设弹簧弹力系数为k，则F(x)kx.由F(x)5 N时，x1 cm，得k5.故F(x)5x.弹簧由50 cm伸长到80 cm时，弹簧实际伸长了30 cm，此时拉力做的功为F(x)dx5xdxx29002 250 (Ncm)弹簧由50 cm伸长到60 cm时，弹簧实际伸长了10 cm，此时拉力做功为WF(x)dx5xdx100250 (Ncm)所以将弹簧从60 cm拉伸到80 cm长时，F(x)所做的功为2 2502502 000(Ncm)20 (J)11如下图，已知曲线yf(x)与直线y0，x，x2围成的图形的面积为S11，S23，S3.则f(x)dx等于()ABCD解析：f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxS1S2S313.答案：C12若dx3ln a(a>1)，则a的值是_解析：由题意可知dx(x2ln x)a2ln a13ln a解得a2.答案：213由曲线y，直线y2x，yx所围成的图形的面积是_解析：由得A(1,1)由得B(3，1)所求面积Sdxdx dxdx .答案：14已知抛物线yx22x与直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，则a的值为_解析：作出yx22x的图像，如下图所示当a<0时，S(x22x)dxa2.(a1)(a2)20.a<0，a1.当a0时，不符合题意当a>0时，若0<a2，则S(x22x)dxa2a3.(a1)(a2)20.a>0，a2.a>2不合题意综上a1或2.答案：1或215已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积解：由(1,2)为曲线f(x)x3x2x1上的点，设在点(1,2)处的切线的斜率为k，则kf(1)3122112.在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即y2x.直线y2x与函数g(x)x2围成的图形如下图由得或A(2,4)SAOB244，g(x)x2与直线x2，x轴围成的区域的面积Sx2dxx3.y2x与函数g(x)x2围成的图形的面积为SSAOBS4.16在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程解：如下图，设切点A(x0，y0)由y2x，得在点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x.C.设由曲线和在点A的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABCS曲边AOBx2dxx3 x，SABC|BC|AB|xx，Sxxx.x01.故切点A的坐标为(1,1)，切线方程为y2x1.