2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第8章　平面解析几何 8.2　两条直线的位置关系 .docx

82两条直线的位置关系 知识梳理1两直线的平行、垂直与其斜率的关系2三种距离3常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.诊断自测1概念思辨(1)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P89A组T1)若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)、斜率为的直线垂直，则实数a的值是()A B C. D.答案A解析由于直线l与经过点(2,1)的斜率为的直线垂直，可知a2a2.因为直线l的斜率k1，所以1，所以a.故选A.(2)(必修A2P101A组T11)已知直线l：xy10，l1：2xy20，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10答案B解析求出两条直线的交点坐标为(1,0)，任取l1上一点(2,2)，求出其关于直线xy10的对称点为(3,1)，之后利用两点式求出l2的方程为x2y10.故选B.3小题热身(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当l1l2时，得，解得a1或a2，代入检验符合，当a1时，易知l1l2，“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.(2)(2017广州模拟)直线x2y10关于x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析由题意得直线x2y10与x1的交点坐标为(1,1)，又直线x2y10上的点(1,0)关于直线x1对称的点为(3,0)，所以由直线方程两点式，得，即x2y30.故选D.题型1两直线的平行与垂直已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1 B2 C0或2 D1或2分类讨论法答案D解析若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.故选D.已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_分类讨论法答案1或0解析l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1已知两直线的斜率存在(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件冲关针对训练1(2018宁夏银川九中模拟)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10垂直，则ab的最小值为()A1 B2 C2 D2答案B解析由已知两直线垂直，得(b21)ab20，即ab2b21，又b0，abb.由基本不等式得b2 2，当且仅当b1时等号成立，(ab)min2.故选B.2(2017西安模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_答案25解析由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.题型2两条直线相交及距离问题(2018福建厦门联考)“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件直接求满足条件的C的取值再判定答案B解析点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_画出直线yx2，分析直线系ykx2k1动态思考答案解析如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB.kPA，kPB.（，）.方法技巧求过两直线交点的直线方程的方法1直接法(1)先求出两直线的交点坐标(2)结合题设中的其他条件，写出直线方程(3)将直线方程化为一般式2直线系法(1)设过两直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.(2)利用题设条件，求的值，得出直线方程(3)验证A2xB2yC20是否符合题意(4)得出结论冲关针对训练(2017钦州期末)直线l过P(1,2)，且A(2,3)，B(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程是()A4xy60Bx4y60C3x2y70或4xy60D2x3y70或x4y60答案C解析设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，AB的斜率为4，当直线lAB时，l的方程是y24(x1)，即4xy60.当直线l经过线段AB的中点(3，1)时，l的斜率为，l的方程是y2(x1)，即3x2y70.故所求直线的方程为3x2y70或4xy60.故选C.题型3对称问题(2017沧州模拟)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_此类问题用方程组法答案解析设A(x，y)，由已知条件得解得A.结论探究1本例中条件不变，求直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得，解得C9，l的方程为2x3y90.结论探究2本例中条件不变，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.方法技巧1中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点的对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行冲关针对训练(2017石家庄期末)设定点A(3,1)，B是x轴上的动点，C是直线yx上的动点，则ABC周长的最小值是()A. B2 C3 D.答案B解析作出点A(3,1)关于yx的对称点A(1,3)，关于x轴的对称点A(3，1)，连接AA，交直线yx于点C，交x轴于点B，则ACAC，ABAB，ABC周长的最小值为|AA|2.故选B.1.(2018山西长治模拟)已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为()A. B C2 D答案B解析由题意知tan2，又0，)，sin，cos，则coscossin22sincos，故选B.2(2017天山期末)直线a1xb1y2和a2xb2y2交于点P(2,3)，则过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程是()A2x3y20 B3x2y20C3x2y20 D2x3y20答案A解析直线a1xb1y2和a2xb2y2交于点P(2,3)，把P(2,3)代入两直线得2a13b12和2a23b22，过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为2x3y2即2x3y20，故选A.3(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由题意可得解得(经检验满足题意)ab3.4(2017山西太原质检)光线从A(4，2)点射出，射到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程 解作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为.即10x3y80. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2 B3 C2或3 D2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.2(2017清城一模)已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为P(1，p)，则mnp的值是()A24 B20 C0 D4答案B解析直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，1，m10，直线mx4y20即5x2y10，垂足(1，p)代入得，52p10，p2.把P(1，2)代入2x5yn0，可得n12，mnp20，故选B.3过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO垂直由kOP2，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y2(x1)，即为x2y50.故选A.4(2018贵州六校联盟联考)数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标是()A(4,0) B(0，4)C(4,0) D(4,0)或(4,0)答案A解析当顶点C的坐标是(4,0)时，三角形重心坐标为，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上故选A.5(2017湖北孝感五校联考)已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)答案C解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.与y2x联立得解得则C(2,4)故选C.6设a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线sinAxayc0与bxsinBysinC0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直答案C解析由正弦定理，得.两直线的斜率分别为k1，k2，k1k21，两直线垂直故选C.7(2017聊城三模)已知两点A(m,0)和B(2m,0)(m>0)，若在直线l：xy90上存在点P，使得PAPB，则实数m的取值范围是()A(0,3) B(0,4)C3，) D4，)答案C解析设P(x，y)，则kPA，kPB，由已知可得消去x得4y216y63m22m0，由题意得解得m3.故选C.8(2017湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为()A4x3y90 B4x3y90C3x4y90 D3x4y90答案A解析由方程组解得即交点为.所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.故选A.9(2017湖南岳阳二模)已知动直线l：axbyc20(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A. B. C1 D9答案B解析因为动直线l：axbyc20(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，又因为Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，所以3，解得m0.所以ac2，则(ac)，当且仅当c2a时取等号，故选B.10(2016四川高考)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案A解析设l1是yln x(0<x<1)的切线，切点P1(x1，y1)，l2是yln x(x>1)的切线，切点P2(x2，y2)，l1：yy1(xx1)，l2：yy2(xx2)，得xP，易知A(0，y11)，B(0，y21)，l1l2，1，x1x21，SPAB|AB|xP|y1y22|，又0<x1<1，x2>1，x1x21，x1x2>22，0<SPAB<1.故选A.二、填空题11(2018豫西五校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_答案解析设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为.12(2018南昌模拟)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_答案或解析由题意及点到直线的距离公式，得，解得a或.13(2017豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为_答案y7x或yx或xy20或xy60解析当直线过原点时，设直线方程为ykx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得，解得k7或k1，此时直线l的方程为y7x或yx；当直线不过原点时，设直线方程为xya，由点A(1,3)到直线l的距离为，得，解得a2或a6，此时直线l的方程为xy20或xy60.综上所述，直线l的方程为y7x或yx或xy20或xy60.14(2018南京期末)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是_答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：yk(x3)5b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb.b34kb，解得k.直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，6bm(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y10.B级三、解答题15已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2，3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)16(2018深圳质检)如图所示，函数f(x)x的定义域为(0，)设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线yx和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：|PM|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值解(1)证明：设P(x0>0)，则|PN|x0，|PM|，因此|PM|PN|1，即|PM|PN|为定值(2)直线PM的方程为yx0(xx0)，即yx2x0，解方程组得xyx0.所以|OM|.连接OP，S四边形OMPNSNPOSOPM|PN|ON|PM|OM|x01，当且仅当x0，即x01时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1.17已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在且l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.18已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.