2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第8章　平面解析几何 8.3　圆的方程 .docx

83圆的方程知识梳理1圆的方程标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离(1)d>rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2>r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)d<rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2<r2M在圆内诊断自测1概念思辨(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为，半径为的圆()(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P120例3)过点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是()Ax2(y2)210 Bx2(y2)210C(x2)2y210 D(x2)2y210答案D解析依据题意知圆心为CD的垂直平分线与x轴的交点由已知可得CD的垂直平分线的方程为xy20，即圆心为(2,0)，所以半径为，故所求圆的方程为(x2)2y210.故选D.(2)(必修A2P124A组T1)动圆x2y26mx2(m1)y10m22m240的圆心的轨迹方程是_答案x3y30解析圆的方程可化为(x3m)2y(m1)225.不论m取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x0，y0)，则消去参变量m，得x03y030，即动圆圆心的轨迹方程为x3y30.3小题热身(1)(2018西城区期末)圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为()A2 B. C1 D.答案D解析已知圆的圆心是(1，2)，到直线xy1的距离是.故选D.(2)求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程是_答案 (x1)2(y2)210解析设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.题型1求圆的方程根据下列条件求圆的方程(1)半径为5且与x轴交于A(2,0)，B(10,0)两点；(2)圆心在直线4xy0上，且与直线l：xy10切于点P(3，2)；(3)已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y0的距离为，求该圆的方程 (1)(3)用待定系数法；(2)用直接法解(1)设圆方程为(xa)2(yb)225，如图，|AB|1028，|AD|4.|AC|5，|CD|3.a6，b3.所求圆的方程为(x6)2(y3)225或(x6)2(y3)225.(2)过P(3，2)与直线l：xy10垂直的直线方程为xy50，与4xy0联立解得圆心坐标为(1，4)，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(3)设圆方程为(xa)2(yb)2r2，由题意解得或圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.方法技巧求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程见典例(2)2待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值见典例(1)(3)(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值冲关针对训练(2017甘肃模拟)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(4，a)，C(2a2,2)，则ABC的外接圆的方程是()Ax2(y3)25 Bx2(y3)25C(x3)2y25 D(x3)2y25答案D解析由题意，2a4，a2，圆的半径为，圆心为(3,0)，圆的方程为(x3)2y25.故选D.题型2与圆有关的最值问题角度1与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)(2018抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_求k的最值转化为直线ykx与圆相切答案解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.结论探究1若本例中条件不变，求yx的最大值与最小值解yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.结论探究2若本例中条件不变，求x2y2的最大值与最小值解如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度2建立函数关系求最值已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m,0)(m>0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4APB90，点P在以AB为直径的圆上，求m的最大值转化为求半径|OP|的最大值答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1典例(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究1.(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题见结论探究2.2建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值冲关针对训练1(2018福建师大附中联考)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A4 B3C42 D32答案D解析设|PO|t，向量与的夹角为，则| ，sin，cos12sin21，|cos(t21)(t1)，t23(t1)，利用基本不等式可得的最小值为23，当且仅当t时，取等号故选D.2已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1 C62 D.答案A解析圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理，|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|，则|PM|PN|的最小值为54.故选A.1.(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2答案A解析圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线axy10的距离为1，解得a.故选A.2(2018山东青岛一模)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为()A6 B. C8 D.答案B解析x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d，又AB5，ABP的面积的最小值为5.故选B.3(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案2y2解析由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)，B(0，2)，C(0，2)，易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy30.令y0，得x，所以圆心坐标为，则半径r4.故该圆的标准方程为2y2.4(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017豫北名校联考)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24答案D解析设圆(x2)2y24的圆心(2,0)关于直线yx对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a1，b，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.故选D.2(2017湖南长沙二模)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2 C1 D22答案A解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，故选A.3已知点P在圆x2y25上，点Q(0，1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是()Ax2y2x0 Bx2y2y10Cx2y2y20 Dx2y2xy0答案B解析设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x02x，y02y1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2(2y1)25，化简得x2y2y10.故选B.4(2018山西运城模拟)已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50 Bx2y0Cx2y40 D2xy30答案D解析直线x2y30的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为y12(x2)，即2xy30，故选D.5(2018唐山期末)若当方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积时，则直线y(k1)x2的倾斜角()A. B. C. D.答案A解析将圆x2y2kx2yk20化成标准方程，得2(y1)21，半径r满足r21，当圆取得最大面积时，k0，半径r1.因此直线y(k1)x2即yx2.得直线的倾斜角满足tan1，直线的倾斜角0，)，.故选A.6若方程 xm0有实数解，则实数m的取值范围()A4m4 B4m4C4m4 D4m4答案B解析由题意知方程xm有实数解，分别作出y与yxm的图象，如图，若两图象有交点，需4m4.故选B.7(2017广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a>0，b>0)对称，则的最小值是()A2 B. C4 D.答案D解析由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a>0，b>0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a>0，b>0)(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.8由直线yx1上的一点向圆C：x26xy280引切线，则切线长的最小值为()A1 B2 C. D3答案C解析解法一：切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径长为r1，故切线长的最小值为.解法二：易知P(m，m1)在直线yx1上，由切线长公式得|PC| ，由mR可得|PC|min.9(2017山东菏泽一模)已知在圆M：x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3 B6 C4 D2答案D解析圆x2y24x2y0可化为(x2)2(y1)25，圆心M(2，1)，半径r，最长弦为圆的直径，AC2.BD为最短弦，AC与BD垂直，易求得ME，BD2BE22.S四边形ABCDSABDSBDCBDEABDECBD(EAEC)BDAC222.故选D.10已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上，则xy的最大值与最小值是()A62，62 B6，6C42，42 D4，4答案A解析设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.故选A.二、填空题11(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_答案(x2)2y29解析因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.12(2017广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_答案(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29解析所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.13(2017金牛期末)已知aR，若方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则此圆心坐标是_答案(2，4)解析方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，a2a20，解得a1或a2，当a1时，方程化为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，所得圆的圆心坐标为(2，4)，半径为5；当a2时，方程化为x2y2x2y2.50，此时D2E24F<0，方程不表示圆，所以圆心坐标为(2，4)14(2018河北邯郸模拟)已知圆O：x2y28，点A(2,0)，动点M在圆上，则OMA的最大值为_答案解析设|MA|a，因为|OM|2，|OA|2，由余弦定理知cosOMA2，当且仅当a2时等号成立，OMA，即OMA的最大值为.三、解答题15已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，<x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中<x3，其轨迹为一段圆弧16已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且y轴被圆截得的弦长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程解(1)由题意知直线PQ的方程为xy20.设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圆C在y轴上截得的线段的长为4，知r212a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.当a1，b0时，r213，满足题意，当a5，b4时，r237，不满足题意故圆C的方程为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)由题意可知OAOB，即0，x1x2(mx1)(mx2)0，化简得2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2，代入，得m212m(1m)m20，m4或m3，经检验都满足题意，直线l的方程为xy40或xy30.