2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第7章 立体几何 7-7a .doc
重点保分 两级优选练A级一、选择题1已知点A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D90答案C解析由已知得(0,3,3)，(1,1,0)，cos，.向量与的夹角为60.故选C.2(2018伊宁期末)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A. B. C.或 D.或答案C解析二面角的范围是0，且n1，n2，二面角ABDC的大小为或.故选C.3(2017太原期中)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)(0，1,1)，(0，1,2)cos，.故选C.4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面答案B解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1，0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.5(2018河南模拟)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为()A. B C. D答案B解析建立如图所示的直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)(0z3)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故当z时，取得最小值为.故选B.6(2018沧州模拟)如图所示，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BECFa(0<a<1)，则DE与BF的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D与a值有关答案B解析建立如图所示空间直角坐标系则D(0,0,1)，E(1a,1,0)，B(1,1,1)，F(0,1a,0)，(1a,1，1)，(1，a，1)(1a)(1)1(a)(1)(1)a1a10.，即DEBF.故选B.7(2017聊城期中)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案C解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，0,0，E，0，F，(0,0，2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为，则sin，PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C.8(2018江西红色七校模拟)已知二面角l等于120，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面，内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于 ()A. B. C2 D.答案C解析解法一：依题意可知二面角l的大小等于与所成的角，因为，所以2222222，因为ACAB，BDAB，ABACBD1，所以2111232|cos，32cos，因为，120，所以，60，因此2324，所以|2，故选C.解法二：在内作AE綊BD.连接CE、DE，易知CAE120，CEDE，CE2AC2AE22ACAEcos1203.在RtCED中，CD2CE2ED24，CD2.故选C.9(2017南阳期中)若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案B解析如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)所以C(0，1,2)，(，1，2)，A(0,1,2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0,2,1)cos，n，即直线AD与平面B1DC所成角的正弦值故选B.10(2018福建龙岩模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则PE的最小值是()A5 B4 C4 D2答案D解析以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AEa，D1Fb，0a4,0b4，P(x，y,4)，0x4,0y4，则F(0，b,4)，E(4，a,0)，(x，by,0)，点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，当E，F分别是AB，C1D1的中点，P为正方形A1B1C1D1的中心时，PE取最小值，此时P(2,2,4)，E(4,2,0)，|PE|min2.故选D.二、填空题11在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)(1,0,2)，(1,1,1)cos，.12(2018曲阜模拟)如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_答案解析AEEDAD11，AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设ABEFCD2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，AF与CE所成角的余弦值为.13(2017青海质检)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于_答案解析过C点作CO平面ABDE，垂足为O，取AB中点F，连接CF，OF，则CFO为二面角CABD的平面角，设AB1，则CF，OFCFcosCFO，OC，则O为正方形ABDE的中心，如图所示建立直角坐标系Oxyz，则E，M，A，N，cos，.14(2018临沂期末)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为_(填序号)答案解析以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC，MP.由MPMC，得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分B级三、解答题15(2018广东五校诊断)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小解(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.ACAEA，BD平面ACFE.(2)以O为原点，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a>0)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin45|cos，n|，解得a3或.由a>0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.16(2014全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积解(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.17(2017河北衡水中学调研)如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2所示(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值解(1)证明：在题图1中，连接CE，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，所以BEAC.在题图2中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由(1)知BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，又平面A1BE平面BCDE，所以A1OC，所以OB，OC，OA1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B，E，A1，C，得，由(，0,0)，得D.所以.设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，直线BD与平面A1BC所成的角为，则得取x1，得n(1,1,1)从而sin|cos，n|，即直线BD与平面A1BC所成角的正弦值为.18.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设PDDC1，BC，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)，(，1，1)，点E是PC的中点，所以E，于是0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因(0,1，1)，0，则DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由PD平面ABCD，所以(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由(1)知PB平面DEF，所以(，1,1)是平面DEF的一个法向量若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，则cos，解得.所以.故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，.
