2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.1　函数及其表示 .docx

21函数及其表示知识梳理1函数与映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点诊断自测1概念思辨(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(4)f(1)x，则f(x)(x1)2(x1)()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P23T2)下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是()答案C解析由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A，B，D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选C.(2)(必修A1P18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)答案A解析A项，函数g(x)|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B项，函数f(x)|x|，g(x)x(x0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C项，函数f(x)的定义域为x|x1，g(x)x1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D项，由解得x1，即函数f(x)的定义域为x|x1由x210，解得x1或x1，即g(x)的定义域为x|x1或x1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数故选A.3小题热身(1)(2018广东深圳模拟)函数y的定义域为()A(2,1)B2,1C(0,1)D(0,1答案C解析由题意得解得0<x<1.故选C.(2)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10B10C2D2答案C解析因为f(1)2，所以f(2)2.故选C.题型1函数的概念集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xy用定义法答案C解析依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项C不符合，因为当x4时，yB.故选C.(2018秦都区校级月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是()y1，y2x5；f(x)x，g(x)；f(x)x，g(x)；f1(x)()2，f2(x)2x5.ABCD用定义法答案C解析对于，y1x5(x3)，与y2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数对于，f(x)x，与g(x)|x|的对应关系不同，不是同一函数对于，f(x)x(xR)，与g(x)x(xR)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数对于，f1(x)()22x5，与f2(x)2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数综上，以上是同一函数的是.故选C.方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点见典例1.2两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数见典例2.冲关针对训练1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Nx|0x1为值域的函数的是()答案C解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确故选C.2下列函数中一定是同一函数的是_yx与yalogax；y2x12x与y2x；f(u) ，f(v) ；yf(x)与yf(x1)答案解析yx与yalogax定义域不同y2x12x2x(21)2x相同f(u)与f(v)的定义域及对应法则均相同对应法则不相同题型2函数的定义域(2015湖北高考)函数f(x)lg 的定义域为()A(2,3)B(2,4C(2,3)(3,4D(1,3)(3,6列不等式组求解答案C解析依题意，知即解之得2<x<3或3<x4，即函数的定义域为(2,3)(3,4故选C.已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1)BC(1,0)D已知f(x)，xa，b，求fg(x)的定义域，则a<g(x)<b.答案B解析由函数f(x)的定义域为(1,0)，则使函数f(2x1)有意义，需满足1<2x1<0，解得1<x<，即所求函数的定义域为.故选B.结论探究典例2中条件不变，求函数g(x)f(2x1)f(3x1)的定义域解函数f(3x1)有意义，需1<3x1<0，解得<x<，又由f(2x1)有意义，解得1<x<，所以可知g(x)的定义域为.条件探究若典例2中条件变为：“函数f(x1)的定义域为(1,0)”，则结果如何？解因为f(x1)的定义域为(1,0)，即1<x<0，所以2<x1<1，故f(x)的定义域为(2，1)，则使函数f(2x1)有意义，需满足2<2x1<1，解得<x<1.所以所求函数的定义域为.方法技巧1求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解见典例1.(2)抽象函数(见典例2)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域由ag(x)b求出若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求2求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接冲关针对训练1(2017临川模拟)已知函数yf(x1)的定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()A3,7B1,4C5,5D答案D解析由yf(x1)定义域2,3得yf(x)定义域为1,4，所以12x14，解得0x.故选D.2(2018石河子月考)已知函数yf(x)的定义域是(，1)，则yf(x1)的定义域是()A. B(，1)C. D(，2)答案A解析函数yf(x)的定义域是(，1)，yf(x1)中，自变量x应满足解得即x<2且x，f(x)的定义域是.故选A.题型3求函数的解析式已知fx2，求f(x)的解析式配凑法解fx222，故f(x)x22，且x2或x2.已知flg x，求f(x)的解析式换元法解令t1>1，得x，所以f(t)lg ，即f(x)lg (x>1)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)待定系数法解设f(x)ax2bxc，由f(0)0，得c0，对f(x1)a(x1)2b(x1)，f(x)x1ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，得ab.所以f(x)x2x(xR)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，求f(x)方程组法解由f(x)2f1，得f2f(x)1，消掉f，可得f(x).方法技巧函数解析式的常见求法1配凑法已知fh(x)g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换见典例1.2待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法见典例3.3换元法已知fh(x)g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范围见典例2.4方程组法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f，f(x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)见典例4.冲关针对训练1(2018衢州期末)已知f(x)是(0，)上的增函数，若ff(x)ln x1，则f(e)()A2B1C0De答案A解析根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且ff(x)ln x1，则f(x)ln x为定值，设f(x)ln xt，t为常数，则f(x)ln xt且f(t)1，即有ln tt1，解得t1，则f(x)ln x1，则f(e)ln e12.故选A.2已知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)解解法一：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)解法二：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)解法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)3已知f(x)满足2f(x)f3x1，求f(x)解(消元法)已知2f(x)f3x1，以代替式中的x(x0)，得2ff(x)1，2得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0).题型4求函数的值域角度1分式型求f(x)，x3，1的值域分离常数法解由y可得y.3x1，y3，即y.角度2根式型求函数的值域(1)y2x；(2)yx4.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法解(1)令t，则x.yt2t12(t0)当t，即x时，y取最大值，ymax，且y无最小值，函数的值域为.(2)令x3cos，0，则y3cos43sin3sin4.0，sin1.1y34，函数的值域为1,34角度3对勾型函数求ylog3xlogx31的值域用分类讨论法解ylog3xlogx31，变形得ylog3x1.当log3x>0，即x>1时，ylog3x1211，当且仅当log3x1，即x3时取“”当log3x<0，即0<x<1时，y213.当且仅当log3x1，即x时取“”综上所述，原函数的值域为(，31，)角度4单调性型函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，)D1，)本题用复合函数“同增异减”的单调性原则求解答案A解析根据对数函数的定义可知，真数3x1>0恒成立，解得xR.因此，该函数的定义域为R，原函数f(x)log2(3x1)是由对数函数ylog2t和t3x1复合的复合函数，由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的根据指数函数的性质可知，3x>0，所以，3x1>1，所以f(x)log2(3x1)>log210.故选A.角度5有界性型求函数y的值域本题用转化法解由y可得2x.由指数函数y2x的有界性可知2x>0，>0，解得1<y<1.所以函数的值域为(1,1)角度6数形结合型求函数y，x的值域本题用数形结合法解函数y的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，1)两点决定的斜率，B(1，1)是定点，A(x，sinx)在曲线ysinx，x上，如图kBPykBQ，即y.方法技巧求函数值域的常用方法1分离常数法(见角度1典例)2配方法(见角度2典例(1)3换元法(见角度2典例(2)(1)代数换元；(2)三角换元4有界性法(见角度5典例)5数形结合法(见角度6典例)6基本不等式法(见角度3典例)7利用函数的单调性(见角度4典例)冲关针对训练求下列函数的值域：(1)f(x)x22x2；(2)y.解(1)x22x2(x1)211，0<x22x2，函数f(x)x22x2的值域是.(2)(数形结合法)如图，函数y的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(3,4)和点B(5,2)的距离之和由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)，连接AB交x轴于一点P，此时距离之和最小，ymin|AB|10，又y无最大值，所以y10，).题型5分段函数角度1求分段函数的函数值(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3B6C9D12确定自变量所在区间，代入相应解析式答案C解析2<1，log212>1，f(2)1log22(2)3；f(log212)2log21212log266.f(2)f(log212)9.故选C.角度2求参数的值(2018襄阳联考)已知函数f(x)且f(a)3，则ff(14a)_.本题用方程思想求a，再根据区间分类讨论，由内到外，逐层求解答案解析当a1时，f(a)2a23无解；当a>1时，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以ff(14a)ff(7)f(3)232.角度3分段函数与不等式的交汇已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0B(，1C2,1D2,0本题用数形结合思想方法、分离常数法答案D解析由题意作出y|f(x)|的图象：由图象易知，当a>0时，yax与yln (x1)的图象在x>0时必有交点，所以当a0，x0时，|f(x)|ax显然成立；当x<0时，要使|f(x)|x22xax恒成立，则ax2恒成立，又x2<2，a2.综上，2a0.故选D.方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算见角度2典例2求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式见角度2典例3解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提见角度3典例4数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准见角度3典例冲关针对训练1已知函数f(x)若f(a)f(a)0，则实数a的取值范围是()A1,1B2,0C0,2D2,2答案D解析依题意可知或解得a2,2故选D.2已知函数f(x)则f(2018)_.答案1008解析根据题意：f(2018)f(2016)1f(2014)2f(2)1008f(0)10091008.1.(2014山东高考)函数f(x)的定义域为()A.B(2，)C.(2，) D.2，)答案C解析要使函数f(x)有意义，需使(log2x)21>0，即(log2x)2>1，log2x>1或log2x<1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为(2，)故选C.2(2018河北名校联盟联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则gf(8)()A1B2C1D2答案A解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)f(8)f(8)log392，gf(8)g(2)f(2)f(2)log331.故选A.3(2018工农区模拟)函数y的值域为()A(，B0，C，D，0答案C解析要使函数有意义，需满足解得1x1，所以函数的定义域为1,1，根据函数的解析式，x增大时，增大，减小，增大，所以y增大，即该函数为增函数所以最小值为f(1)，最大值为f(1)，所以值域为，故选C.4(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f>1的x的取值范围是_答案解析由题意知，可对不等式分x0,0x，x三段讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当0x时，原不等式为2xx1，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，x.基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的个数是()A2B3C4D5答案C解析对，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确故选C.2(2018吉安四校联考)已知函数f(x)则f的值为()A.BCD18答案A解析f(2)4，ff12.故选A.3已知f(x5)lg x，则f(2)等于()Alg 2Blg 32Clg D.lg 2答案D解析令x5t，则xt (t>0)，f(t)lg tlg tf(2)lg 2.故选D.4(2017山西名校联考)设函数f(x)lg (1x)，则函数ff(x)的定义域为()A(9，)B(9,1)C9，)D9,1)答案B解析ff(x)flg (1x)lg 1lg (1x)，则9<x<1.故选B.5若函数yf(x)的定义域是0,1，则函数F(x)f(xa)f(2xa)(0<a<1)的定义域是()A.BCa,1a D.答案A解析x.故选A.6函数y的值域为() A.BC.D答案C解析由于x20，所以x211，所以0<1，结合函数yx在(0,1上的图象可知函数y的值域为.故选C.7(2018黄冈联考)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则ff(3)()A2B2C3D3答案B解析由题意得f(0)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而ff(3)f(9)log392.故选B.8(2018银川模拟)已知具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是()ABCD答案B解析对于，f(x)x，fxf(x)满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.故选B.9(2018铜陵一模)若函数f(x)图象上任意一点P(x，y)皆满足y2x2，则f(x)的解析式可以是()Af(x)xBf(x)ex1Cf(x)xDf(x)tanx答案C解析A项，当x1时，f(x)110,0212不成立；B项，当x1时，f(x)1(1,0)，2(1)2不成立；D项，当x时，f(x)1，122不成立；对于C，f2(x)x28>x2，符合题意故选C.10(2017山东模拟)设函数f(x)则满足ff(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1，)答案C解析当a<时，f(a)3a1<1，ff(a)3(3a1)19a4,2f(a)23a1，显然ff(a)2f(a)当a<1时，f(a)3a11，ff(a)23a1,2f(a)23a1，故ff(a)2f(a)当a1时，f(a)2a>1，ff(a)22a，2f(a)22a，故ff(a)2f(a)综合知a.故选C.二、填空题11已知xN*，f(x)其值域设为D.给出下列数值：26，1,9,14,27,65，则其中属于集合D的元素是_(写出所有可能的数值)答案26,14,65解析注意函数的定义域是N*，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3)93526，f(4)163519，f(5)253510，f(6)36351，f(7)493514，f(8)643529，f(9)813546，f(10)1003565.故正确答案应填26,14,65.12(2018厦门一模)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_答案解析当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x<1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a.13定义：区间x1，x2(x1<x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1,2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为_答案1解析a，b的长度取得最大值时a，b1,1，区间a，b的长度取得最小值时a，b可取0,1或1,0，因此区间a，b的长度的最大值与最小值的差为1.14(2018绵阳二诊)现定义一种运算“”：对任意实数a，b，ab设f(x)(x22x)(x3)，若函数g(x)f(x)k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是_答案(8，7(3，2)1解析因为(x22x)(x3)1(x4)(x1)，所以f(x)(x22x)(x3)作出函数yf(x)的图象如图所示函数g(x)f(x)k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数yf(x)的图象与直线yk有两个公共点，结合图象可得k1 或2<k<3或7k<8，所以实数k的取值范围是k(8，7(3，2)1三、解答题15(2018福建六校联考)已知函数f(x)loga(x2)loga(4x)(a>0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间0,3上的最小值为2，求实数a的值解(1)依题意得解得2<x<4，f(x)的定义域为(2,4)(2)f(x)loga(x2)loga(4x)loga(x2)(4x)，令t(x2)(4x)，则可变形得t(x1)29，0x3，5t9，若a>1，则loga5logatloga9，f(x)minloga52，则a2<1(舍去)，若0<a<1，则loga9logatloga5，f(x)minloga92，则a2，又0<a<1，a.综上，得a.16如果对x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2.(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求的值解(1)x，yR，f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2，f(2)f(11)f(1)f(1)224，f(3)f(12)f(1)f(2)238，f(4)f(13)f(1)f(3)2416.(2)解法一：由(1)知2，2，2，2，故原式210092018.解法二：对x，yR 都有f(xy)f(x)f(y)且f(1)2，令xn，y1，则f(n1)f(n)f(1)，即f(1)2，故2，故原式210092018.