数学分析试题及答案解析.doc

.2014 2015学年度第二学期数学分析2A试卷 学院 班级 学号(后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题(每小题3分，共21分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉） 1。若在连续,则在上的不定积分可表为（ )。 2.若为连续函数，则（ ). 3. 若绝对收敛,条件收敛，则必然条件收敛（ ）. 4。 若收敛，则必有级数收敛（ ) 5。 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）。 6。 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大( ）。 7。 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1。若在上可积,则下限函数在上（ ）A.不连续 B。 连续 C。可微 D.不能确定 2。 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ） A。 在上一定不可积； B。 在上一定可积，但是； C。 在上一定可积，并且； D. 在上的可积性不能确定。 3.级数 A。发散 B。绝对收敛 C。条件收敛 D。 不确定 4。设为任一项级数,则下列说法正确的是（ ） A.若,则级数一定收敛； B。 若，则级数一定收敛； C。 若,则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（ ） A。 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. 在收敛域上各点是绝对收敛的； C。 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值(每小题5分，共10分） 1。 2。 四。 判断敛散性（每小题5分，共15分) 1. 2。 3。 五。 判别在数集D上的一致收敛性(每小题5分，共10分） 1。 2。 六已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积.（本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米,已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。（本题满分10分）八. 证明:函数在上连续，且有连续的导函数.(本题满分9分) 2014 -2015学年度第二学期数学分析2B卷 答案 学院 班级 学号(后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾,否则打叉）1。 2. 3. 4. 5. 6。 7. 二。单项选择题(每小题3分,共15分） 1。 B ； 2.C ; 3.A ; 4。D； 5.B三。求值与计算题(每小题5分，共10分）1。解：由于-3分 而 -4分 故由数列极限的迫敛性得： -5分2. 设 ，求解：令 得 =-2分= -4分=-5分四.判别敛散性(每小题5分,共10分） 1。 解: -3分 且 ，由柯西判别法知, 瑕积分 收敛 -5分 2。 解: 有 -2分 从而 当 -4分 由比较判别法 收敛-5分五。判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分) 1。 解：极限函数为-2分 又 -3分 从而故知 该函数列在D上一致收敛。 -5分2. 解：因当 时，-2分而 正项级数 收敛， -4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛。-5分3。 解：易知，级数的部分和序列一致有界，-2分而 对 是单调的，又由于,-4分所以在D上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知,该级数在D上一致收敛.-5分六。 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）解：解方程组得圆与抛物线在第一象限的交点坐标为：， -3分则所求旋转体得体积为： -7分 =- = -10分七。现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计）,内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功?（本题满分10分) 解:以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为： -5分 故所求为： -8分 =1250 =12250(千焦）-10分八设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分) 证明：是上的单调函数，所以有 -4分又由与都绝对收敛,所以 收敛，-7分由优级数判别法知:在上绝对且一致收敛.-2013 -2014学年度第二学期数学分析2A试卷 学院 班级 学号(后两位） 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一. 判断题（每小题2分,共16分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在a,b上可导，则在a，b上可积。 （ )2。若函数在a，b上有无穷多个间断点，则在a，b上必不可积。 （ ）3.若均收敛,则一定条件收敛。 （ ）4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（ ) 5。若为正项级数(）,且当 时有： ，则级数必发散.（ ） 6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为: ( ) 7.若，则 ( ） 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ）二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1。 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）A B C D 2。级数收敛是部分和有界的( ）A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3。正项级数收敛的充要条件是( )A。 B。数列单调有界 C. 部分和数列有上界 D。 4。设则幂级数的收敛半径R=（ ） A. B。 C。 D。5。 下列命题正确的是( ）A 在绝对收敛必一致收敛B 在一致收敛必绝对收敛C 若，则在必绝对收敛D 在条件收敛必收敛6。若幂级数的收敛域为，则幂级数在上 A。 一致收敛 B. 绝对收敛 C。 连续 D。可导三. 求值或计算（每题4分，共16分）1. ;2. 3 。4。设在0，1上连续，求四。（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性。 1。; 2。 3。 ; 4。五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1。 2。 ；六。应用题型（14分）1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面,其内现有水（)，若再加水7（)，问水位升高了多少米？ 2. 把由,x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的. 七证明题型 （10分） 已知与均在a，b上连续，且在a，b上恒有,但不恒等于,证明: 2013 2014学年度第二学期数学分析2B试卷 学院 班级 学号（后两位) 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一、 判断题(每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉)1。对任何可导函数而言，成立。（ ）2.若函数在上连续，则必为在上的原函数。（ ）3。若级数收敛，必有。（ ）4.若，则级数发散。5。若幂级数在处收敛,则其在2，2上一致收敛。（ )6。如果在以a，b为端点的闭区间上可积,则必有.（ ）7。设在上有定义,则与级数同敛散.（ ）8。设在任子区间可积,b为的暇点，则与同敛散。（ ）9。设在上一致收敛，且存在，则.二。单项选择题（每小题3分,共15分）1。 函数在上可积的必要条件是（ ）A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2。 下列说法正确的是（ ）A。 和收敛，也收敛 B。 和发散，发散C. 收敛和发散，发散D。 收敛和发散，发散3. 在收敛于，且可导,则（ ） A。 B。 可导 C. D。 一致收敛，则必连续 4。级数 A.发散 B.绝对收敛 C。条件收敛 D. 不确定5。幂级数的收敛域为: A.(0.5,0。5) B。0。5,0。5 C. D。三。求值与计算题（每小题4分，共16分）1。 2. 3。 4。四.判别敛散性（每小题4分，共16分）1。；2.3.4。五。判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1。 2. 六.应用题型(16分) 1。试求由曲线及曲线所平面图形的面积。 2。将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似,可使之误差不超过十万分之一.七. （9分)证明:若函数项级数满足:(） ；（）收敛。则函数项级数在D上一致收敛。014 -2015学年度第二学期数学分析2A卷答案 三. 判断题（每小题3分，共21分）1。 2. 3. 4. 5. 6。 7. 二。单项选择题（每小题3分，共15分) B， C， C, D， A三.计算与求值( 每小题5分，共10分） 1。 解：原式= =-2分 =-3分 =-5分 2.原式= -2分 = -4分 = -5分四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分) 1。 -2分且 -3分 由柯西判别法知，收敛。-5分 2。由比式判别法 -4分 故该级数收敛。 -5分 3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-2分 又 知其单调且有界，-4分故由阿贝尔判别法知,级数收敛. -5分五。1。 解:极限函数为 -2分 又 -4分 故知 该函数列在D上一致收敛。-5分 2。 解：因当 时，-3分而 正项级数 收敛， -4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-5分六已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分） 解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系， 过x处用垂直x轴的平面取截该立体,所得直角三角形的面积为: -5分 故所求立体的体积为： -7分 = -10分七。解：建立图示坐标系（竖直方向为x轴) 则第一象限等腰边的方程为 -3分 压力微元为： 故所求为 -7分 10分八。 证明：每一项在上连续， 又 而收敛 所以在上一致收敛，-3分故由定理结论知 在上连续,-5分再者 而收敛所以在上一致收敛，结合在上的连续性可知在上有连续的导函数。 -9分 2014 -2015学年度第二学期数学分析2B试卷 学院 班级 学号(后两位) 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分二、 判断题（每小题3分，共21分,正确者括号内打对勾，否则打叉)1。若为偶函数，则必为奇函数（ ）。2。为符号函数,则上限函数y=在上连续( ).3。若收敛，必有( ）.4。若在区间I上内闭一致收敛,则在区间I上处处收敛（ ）.5.若在上内闭一致收敛,则在上一致收敛（ ).6。若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（ )。7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在上一致收敛（ )。二。单项选择题（每小题3分，共15分) 1. 函数是奇函数，且在上可积，则（ ）A B C D 2.关于积分,正确的说法是（ ） A。此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0，13。就级数（)的敛散性而言,它是（ ) A. 收敛的 B。 发散的 C。 仅 时收 D. 仅 时收敛 4。函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是( ） A. B. C. D. 5.幂级数的收敛域为: A。(0。5，0.5) B。-0.5,0。5 C。 D.三。求值与计算题（每小题5分，共10分）1.2. 设 ，求四。判别敛散性（每小题5分,共10分） 1。 2。 五。判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分,共15分) 1。 2。 3. 六。 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分10分）七。现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计),内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分)八设是上的单调函数,证明:若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛。 （本题满分9分) .