2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第6章 第01节 数列的概念与简单表示法 .doc

第一节数列的概念与简单表示法考点高考试题考查内容核心素养数列的概念2016全国卷T1712分由递推关系求通项逻辑推理 2014全国卷T165分由递推关系求首项命题分析本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式或已知Sn与an的关系求Sn，三种题型均有可能出现，难度中低档.1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项.(2)数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an(3)数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个公式叫作这个数列的通项公式2数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式提醒：1辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2数列的函数特性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列3an与Sn的关系：an1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)an与an是不同的概念()(2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的()(3)数列是一种特殊的函数()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN，都有an1Sn1Sn.()(6)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材习题改编)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16C49D64解析：选A当n8时，a8S8S7827215，故选A3下列可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1BanCan2Dan解析：选C对于A、B、D选项，可令n1,2,3,4，逐一验证不符合，对于选项C，由an2，可得a11，a22，a31，a42，.4(教材习题改编)已知数列an的通项公式为ann23n28，则数列an的最小项为_解析：ann23n28n23n282.所以当n1或n2时，an取得最小值，(an)min30.答案：305若数列an的通项公式为an，那么这个数列是_数列(填“递增”或“递减”或“摆动”)解析：方法一令f(x)，则f(x)1在(0，)上是增函数，则数列an是递增数列方法二因为an1an0，所以an1an，所以数列an是递增数列答案：递增由递推关系求通项公式明技法由数列递推式求通项公式的常用方法提能力【典例】 设数列an中，a12，an1ann1，则an_.解析：由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.答案：母题变式1 若将“an1ann1”改为“an1an”，如何求解？解：an1an，ana12.母题变式2 若将“an1ann1”改为“an12an3”，如何求解？解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a135，且2.所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列所以bn52n1，故an52n13.母题变式3 若将“an1ann1”改为“an1”，如何求解？解：an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1)，an.刷好题(金榜原创)在数列an中，a11，an12nan，求an.解：由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，故an2.an与Sn关系的应用析考情an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度相对小，属中低档题提能力命题点1：由Sn求an【典例1】 已知数列an中，Sn是其前n项和，若Sn3n2n1，则an_.解析：因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12, 由于a1不适合此式，所以an答案：命题点2：利用an与Sn的关系求an【典例2】 (2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：因为 an1Sn1Sn，an1SnSn1，所以Sn1SnSnSn1.因为 Sn0，所以1，即1.又1，所以是首项为1，公差为1的等差数列所以1(n1)(1)n，所以Sn.答案： 悟技法已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1(n2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写刷好题1若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.解析：由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案：(2)n12已知数列an满足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.解：设a12a23a34a4nanTn，当n1时，a1T13122112，当n2时，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an数列的单调性及其应用明技法数列单调性的判定方法(1)作差比较法：an1an0数列an是递增数列；an1an0数列an是递减数列；an1an0数列an是常数列(2)作商比较法：当an0时，则1数列an是递增数列；1数列an是递减数列；1数列an是常数列当an0时，则1数列an是递减数列；1数列an是递增数列；1数列an是常数列(3)结合相应函数的图像直观判断提能力【典例】 已知数列an的通项公式为an，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由解：方法一an1an，当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a8a9a10a11，故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.方法二设数列an的第n项最大，则即解得8n9，又nN，则n8或n9.故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.刷好题1已知an是递增数列，且对于任意的nN，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析：方法一(定义法)因为an是递增数列，所以对任意的nN，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.方法二(函数法)设f(n)ann2n，其图像的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)f(2)，即3.答案：(3，)2已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_解：由an1an2n得：a2a12，a3a24，a4a36，anan12(n1)，以上n1个式子相加得：ana12462(n1)2n2n.所以ann2na1n2n33，所以n121.由nN，当n5时，当n6时，.所以当n5时，的值最小为.