2018版高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一导学案新人教A版必修4_.doc

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1证明函数ysin x和ycos x都是周期函数.答案sin(x2)sin x，cos(x2)cos x，ysin x和ycos x都是周期函数，且2就是它们的一个周期.思考2证明函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)(A0)是周期函数.答案由诱导公式一知，对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(0)是周期函数，就是它的一个周期.同理，函数f(x)Acos(x)(0)也是周期函数.梳理由sin(x2k)sin x，cos(x2k)cos x(kZ)知，ysin x与ycos x都是周期函数，2k (kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于xR，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理(1)对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)ysin(2x)(xR)；(2)y|sin x|(xR).解(1)方法一令z2x，因为xR，所以zR.函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数f(x)sin(xR)的最小正周期是.方法二f(x)sin的最小正周期为.(2)因为y|sin x|(kZ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为.反思与感悟对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)ysin；(2)y|cos 2x|.解(1)T4.(2)T.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).解(1)显然xR，f(x)cos x，f(x)cos cos xf(x)，f(x)是偶函数.(2)由得1<sin x<1.解得定义域为x|xR且xk，kZ.f(x)的定义域关于原点对称.又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)，f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x).f(x)为奇函数.(3)1sin x0，sin x1，xR且x2k，kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).解(1)f(x)sin 2xx2sin x，xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数.(2)由得cos x.f(x)0，x2k，kZ.f(x)既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值.解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin .f.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值.解因为f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f(x)cosx，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值.解f(1)cos，f(2)cos，f(3)cos 1，f(4)cos，f(5)cos，f(6)cos 21，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理，可得每连续六项的和均为0.f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)coscoscoscoscoscoscos cos()(1)().反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 015) .答案0解析f(x)sin x的周期T6，f(1)f(2)f(3)f(2 015)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)335f(33561)f(33562)f(33563)f(33564)f(33565)3350f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)sin sin sin sin sin 0.1.函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A. B. C.2 D.4答案D2.下列函数中最小正周期为的偶函数是()A.ysin B.ycos C.ycos x D.ycos 2x答案D3.设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数答案B解析sinsincos 2x，f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数.4.函数ysin(x)的最小正周期为2，则的值为 .答案解析T2，|，.5.若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f .答案解析fffsin .1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，>0，xR)的周期T.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为的是()A.ysin B.ysin 2xC.ycos D.ycos(4x)答案D解析T.2.函数f(x)sin的最小正周期为，其中>0，则等于()A.5 B.10 C.15 D.20答案B3.已知aR，函数f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a等于()A.0 B.1 C.1 D.1答案A解析因为f(x)为奇函数，所以f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而a0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()A.ycos|2x| B.y|sin x|C.ysin D.ycos答案D解析ycos|2x|是偶函数，y|sin x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T.5.函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A.10 B.11 C.12 D.13答案D解析T2，即k4，正整数k的最小值是13.6.函数y的奇偶性为()A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案D解析由题意知，当1sin x0，即sin x1时，y|sin x|，所以函数的定义域为x|x2k，kZ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f(x)3sin(x)是()A.周期为3的偶函数 B.周期为2的偶函数C.周期为3的奇函数 D.周期为的偶函数答案A二、填空题8.若0<<，g(x)sin(2x)是偶函数，则的值为 .答案解析要使g(x)sin(2x)为偶函数，则需k，kZ，k，kZ.0<<，.9.函数f(x)sin1的图象关于 对称.(填“原点”或“y轴”)答案y轴解析f(x)sin1cos 2x1，f(x)f(x)，f(x)是偶函数.偶函数的图象关于y轴对称，f(x)的图象关于y轴对称.10.关于x的函数f(x)sin (x)有以下说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；存在，使f(x)是偶函数；存在，使f(x)是奇函数；对任意的，f(x)都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案解析当0时，f(x)sin x是奇函数.当时，f(x)cos x是偶函数.三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)cos(2x)cos(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)xR，f(x)cos(2x)cos(x)sin 2x(cos x)sin 2xcos x.f(x)sin(2x)cos(x)sin 2xcos xf(x)，yf(x)是奇函数.(2)对任意xR，1sin x1，1sin x0，1sin x0，f(x)的定义域是R.又f(x)，f(x)，yf(x)是偶函数.(3)esin xesin x0，sin x0，xR且xk，kZ.定义域关于原点对称.又f(x)f(x)，yf(x)是奇函数.12.已知f(x)是以为周期的偶函数，且当x时，f(x)1sin x，求当x时，f(x)的解析式.解当x时，3x，当x时，f(x)1sin x，f(3x)1sin(3x)1sin x.又f(x)是以为周期的偶函数，f(3x)f(x)f(x)，f(x)的解析式为f(x)1sin x，x.13.已知函数f(x)满足f(x2)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.证明f(x4)f(x22)f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f(x)2cos的最小正周期为T，且T(1，4)，则正整数的最大值为 .答案6解析T，14，则2.的最大值是6.15.欲使函数yAsin x(A>0，>0)在闭区间0，1上至少出现50个最小值，求的最小值.解函数yAsin x的最小正周期为，因为在每一个周期内，函数yAsin x(A>0，>0)都只有一个最小值，要使函数yAsin x在闭区间0，1上至少出现50个最小值，则y在区间0，1内至少含49个周期，即解得，所以的最小值为.