2018版高中数学第一章三角函数导学案新人教A版必修4_.doc

第一章 三角函数1例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l|r和扇形面积公式S|r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.例1已知扇形的圆心为60，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.解设弧长为l，弓形面积为S弓，则60，r10，所以lr，所以S弓S扇Slrr2sin 50.评注本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解.例2扇形的半径为R，其圆心角(0)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？解如图，设内切圆半径为r. 则(Rr)sin r，所以r，则内切圆的面积Sr22R22.因为，且0，所以当，即时，Smax.评注解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.例3已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，所以l302r，从而Slr(302r)rr215r2cm2，所以当半径rcm时，扇形面积最大，为cm2.这时2.评注本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.针对练习：1.扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？2.在扇形AOB中，AOB90，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积.3.已知扇形AOB的周长是6 cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.答案1.2时，扇形面积最大，最大值为.2.Sr2l2.3.2 cm2.2任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考.一、概念不清例1已知角的终边在直线y2x上，求sin cos 的值.错解在角的终边所在直线y2x上取一点P(1，2)，则r.所以sin cos .剖析错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角的终边所在直线上取一点与角的终边上任取一点都可以确定角的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的.正解在直线y2x的第一象限部分取一点P(1，2)，则r.所以sin cos .在直线y2x的第三象限部分取一点P(1，2)，则r.所以sin cos .综上，sin cos 的值为或.二、观察代替推理例2当(0，)时，求证：sin <tan .错解如图，设角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角的终边交于点T，则MPsin .记的长为l，则lOP，ATtan .观察可得MPlAT，所以sin tan .剖析证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的.正解设角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角的终边交于点T，则MPsin .记A的长为l，则lOP，ATtan .因为SOAPS扇形 OAPSOAT，所以OAMPOAlOAAT.所以MPlAT，即sin tan .三、估算能力差例3若，则sin cos 的一个可能的值是()A. B. C. D.1错解因为，所以0sin 1，0cos 1.因此选A.剖析由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出sin cos 的范围，造成错误。正解如图所示，设P(x，y)是角终边上任意一点，且|OP|r，则sin cos .因为，所以x0，y0，且xyr.故sin cos 1.而四个选项中只有C符合要求.故选C.以上列举了三种常见的错误，并给出正确解法.同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误.3同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.一、知一求二型例1 已知sin ，则tan _.解析由sin ，且sin2cos21得cos ，因为，可得cos ，所以tan 2.答案2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.二、妙用“1”例2 证明：.证明因为sin2xcos2x1，所以1(sin2xcos2x)3，1(sin2xcos2x)2，所以.即原命题得证.点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例3 已知tan 2，求值：(1)_；(2)2sin23cos2_.解析(1)因为cos 0，分子分母同除以cos ，得1.(2)2sin23cos2，因为cos2 0，分子分母同除以cos2，得1.答案(1)1(2)1点评这是一组在已知tan m的条件下，求关于sin 、cos 的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin 、cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以分子、分母可同时除以cosn (nN*).这样可以将所求式化为关于tan 的表达式，整体代入tan m的值求解.4单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.一、信心体验比较大小例1 比较cos ，sin，cos 的大小.解因为sin cos()cos ，coscos ，又0<<<<，而ycos x在0，上是减函数，所以cos >cos >cos ，即cos >sin >cos .点评比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：将不同名的三角函数化为同名三角函数；用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击求解最值例2 已知f(x)sin(2x)，xR.求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值.解因为当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)sin(2x)单调递增；当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数单调递减，所以f(x)sin(2x)在区间，上为增函数，在区间，上为减函数.又f()0，f()，f()1.故函数f(x)在区间，上的最大值为，最小值为1.点评求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将x看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.三、触类旁通解不等式例3 若0<2，sin >cos ，求的取值范围.解当时，不等式成立，当时，不等式不成立.当0，)(，2时，cos >0，则原不等式可化为tan >，根据正切函数的单调性得，<<；同理可得，当(，)时，<<.综上，的取值范围是(，).点评利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.5善用数学思想巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是_.解析在同一坐标系中画出ysin x，ycos x，x(0，2)的图象如图.由图知，x(，).答案(，)点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例2 证明：(1)ncos ，nZ.证明当n为偶数时，令n2k，kZ，左边cos .右边(1)2kcos cos ，左边右边.当n为奇数时，令n2k1，kZ，左边cos .右边(1)2k1cos cos ，左边右边.综上所述，(1)ncos ，nZ成立.点评解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k(kZ)的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(k)(1)ksin (kZ)；cos(k)(1)kcos (kZ)；sin(k)(1)k1sin (kZ)；cos(k)(1)kcos (kZ)等.三、函数与方程的思想例3 函数f(x)cos xsin2x(x)的最大值是_.解析f(x)cos xsin2xcos2xcos x1(cos x)2，设cos xt，因为x，所以由余弦函数的单调性可知，cos x，即t，又函数f(t)(t)2在，上单调递增，故f(t)maxf()，所以f(x)的最大值为.答案点评遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.四、转化与化归思想例4 比较tan()与tan()的大小.解tan()tan，tan()tan.因为0<<<，且ytan x在(0，)内单调递增，所以tan<tan.所以tan>tan，即tan()>tan().点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.6三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y 的定义域为_.解析由题意得cos x，所以2kx2k，kZ.即函数的定义域是2k，2k，kZ.答案2k，2k，kZ点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例2 函数ycos(x)，x(0，的值域是_.解析因为0<x，所以<x，由f(x)cos x的图象如图可知：cos cos(x)<cos ，即y<.故函数的值域是，).答案，)点评解本题的关键是从x的范围入手，先求得x的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(x)的范围，从而可得函数的值域或者最值.三、单调性例3 已知函数f(x)sin(2x)，求：(1)函数f(x)的单调递减区间；(2)函数f(x)在，0上的单调递减区间.解由f(x)sin(2x)可化为f(x)sin(2x)，所以原函数的递减区间即为函数ysin(2x)的递增区间.(1)令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)sin(2x)的递减区间为k，k，kZ.(2)在减区间k，k，kZ中，令k1，0，可以得到当x，0时，f(x)sin(2x)的递减区间为，0.点评解本题的关键是先把函数化为标准形式ysin(x)，>0，然后把x看做一个整体，根据ysin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f(x)sin(2x)(>0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是()A.x B.x C.x D.x解析由T得1，所以f(x)sin(2x)，由2xk，kZ，解得f(x)的对称轴方程为x，kZ，所以x为f(x)的一条对称轴，故选C.答案C点评解本题的关键是先由周期公式求得的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.五、奇偶性例5 若函数f(x)sin(0，2)是偶函数，则等于()A. B. C. D.解析因为函数是偶函数，所以函数关于x0对称；由k可得函数的对称轴方程是x3k，kZ，令3k0，解得3k，kZ，又0，2)，故.答案C点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数函数图象关于y轴对称；奇函数函数图象关于原点对称.7数形结合百般好，形象直观烦琐少 构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1定义运算ab为ab例如，121，则函数f(x)sin xcos x的值域为()A.1，1 B.C. D.解析根据题设中的新定义，得f(x)作出函数f(x)在一个周期内的图象，如图可知函数f(x)的值域为.答案C点评有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.二、确定零点个数例2函数f(x)xsin x在区间0，2上的零点个数为_.解析在同一直角坐标系内，画出yx及ysin x的图象，由图象可观察出交点个数为2.答案2点评有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.三、确定参数的值例3已知f(x)sin(x)(>0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.解析f(x)sin(>0)且ff，又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示，f(x)在处取得最小值.2k(kZ).8k(kZ).>0，当k1时，8；当k2时，16，此时在区间内已存在最大值.故.答案点评本题考查对yAsin(x)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f(x)在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.四、判断函数单调性例4设函数f(x)(xR)，则f(x)()A.在区间上是增函数B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数D.在区间上是减函数解析作出函数y的图象如图所示.由图象可知B正确.答案B点评形如f(x)|Asin(x)k|(A0，0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.五、确定参数范围例5当0x1时，不等式sin kx恒成立，则实数k的取值范围是_.解析作出函数ysin ，ykx的函数图象，如图所示.当k0时，显然成立；当0<k1时，由图象可知：sin kx在x0，1上成立.综上所述，k1.答案(，1点评数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论ykx与ysin 的图象关系时，不要忘记k0的情况.六、研究方程的实根例6已知方程2sin(2x)1a，x，有两解，求a的取值范围.规范解答构造函数y2sin(2x)及ya1，用五点作图法作出函数y2sin(2x)在，上的图象如图所示.显然要使ya1与图象有两个交点，只须2a10或a12，解得3a1或a1，即a的取值范围为a|3a1或a1.