2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标.docx

【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义. 【学习目标】1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合.(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中坐标伸缩变换的坐标表达式为其中a>0，b>0.【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换其中a>0，b>0.知识点1平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可用抽象的代数方程将形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立数轴、直角坐标系或空间直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】 质点从原点出发沿数轴的正方向前进4个单位到达点P1，然后反向走了1个单位，到达点P2，接下来每次反向并向前运动上次距离的.求质点运动n次后到达的点Pn的坐标.解：设点Pn的坐标为xn.则xnx1()x1()2x1.()n1x141()()2.()n141()n.故Pn的坐标为xn1()n.【反思感悟】 直线坐标系(数轴)是一维坐标系，其点的坐标是一个实数.1.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)答案：A解析：法一：设出点C坐标，并利用(4，3)求出点C坐标，然后计算的坐标.设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4).故选A.法二：利用求解.(4，3)(3，1)(7，4).故选A.【例2】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0). 由已知|PM|PN|，得|PM|22|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|212(|PO2|21).设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233(或x2y212x30).【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.2.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.|MA|MB|，|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2.这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x<0).【例3】 如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(1，3)，B(3，2)，C(4，2)，D(3，4)，求四边形ABCD的面积.解：如图，SABEBEAE5；SCDF3；S梯形AEFD 22，所以四边形ABCD的面积为522330.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.3.已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.答案：B解析：先根据已知条件分析ABC的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点距离.在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC为等边三角形.设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心.所以|AE|AD|，从而|OE|，故选B.【例4】 已知棱长为2的正方体ABCDABCD，建立如图所示不同的空间直角坐标系.试分别写出正方体各顶点的坐标.解：(1)因为D是坐标原点，A，C，D分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2).因为点B在xDy平面上，它在x，y轴上的射影分别为A，C，所以B(2，2，0).同理，A(2，0，2)，C(0，2，2).因为B在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D，所以B(2，2，2).(2)因为D是坐标原点，A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2).同(1)得B(2，2，0)，A(2，0，2)，C(0，2，2)，B(2，2，2).【反思感悟】 求空间中任意一点的坐标应注意：(1)位于x，y，z轴上的点有何特征，位于平面xOy，xOz，yOz上的点有何特征.(2)线段长与坐标有区别，坐标符号不可忽视.(3)同一点在不同坐标系下的坐标有所变化，求坐标的难易程度取决于坐标系的建法.4.已知A(1，2，1)，B(2，0，2)，在xOz平面内的点M到A与B的距离相等，求M点的轨迹.解：设M点的坐标为(x，0，z)，则有，整理，得x3z10，点M的轨迹是xOz平面的一条直线，其方程为x3z10.知识点2坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例5】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x2y0；(2)x2y21.解：(1)由伸缩变换得将其代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5X3Y0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线.(2)将代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用X，Y表示.5.已知伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆X21，求曲线C的方程.解：设P(x，y)为曲线C上任意一点.把代入X21，得x2y21.故曲线C的方程为x2y21.【例6】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线X2Y21.解：设变换为可将其代入第二个方程，得a2x2b2y21.与4x29y236比较，将其变为x2y21，即x2y21，比较系数得即将椭圆4x29y236上的所有点横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆X2Y21.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x，y和X，Y，比较公式中的系数即可.6.在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y28x120变成曲线X2Y24X30，求满足图象变化的伸缩变换.解：x236y28x120可化为9y21.X2Y24X30可化为(X2)2Y21.比较两式得X2，Y3y.故所求伸缩变换为：课堂小结1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程；2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算；3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.随堂演练1.已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AMMB12，求动点M的轨迹方程.解：(代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，|AB|6，a2b236.M分的比为.将式代入式，化简为1.2.已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60的方向埋设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解：解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线m的相对位置，如图所示，以A为原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1 000，0).由W位于A的西北方向及|AW|400，得W(200，200)，由直线m过B点且倾斜角为906030，得直线m的方程是xy1 0000.于是，点W到直线m的距离为100(5)113.6>100，所以，埋设地下管线m的计划可以不修改.3.分别求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换.(1)曲线y2sin 3x变换成曲线y3sin 2x；(2)椭圆1变换成圆x2y29.解：(1)将变换后的曲线y3sin 2x改写成y3sin 2x，设伸缩变换为代入上式得y3sin2(x)，即ysin(2x)，与曲线y2sin 3x比较系数，得解得所以伸缩变换为(2)将变换后的圆x2y29改写成x2y29，设伸缩变换为代入上式，得2x22y29，即1，与椭圆1比较系数，得，所以伸缩变换为基础达标1.要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案：B解析：根据三角函数图象的变换关系求解.由ysinsin 4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.2.向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A.1 B.0 C.1 D.2答案：C解析：法一：将(2ab)a展开后再进行坐标运算.a(1，1)，b(1，2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：将2ab看做一个向量并求出其坐标后再与a计算数量积.a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，从而(2ab)a(1，0)(1，1)1，故选C.3.在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线Ysin X的伸缩变换是()A. B. C. D.答案：B解析：设代入第二个方程Ysin X得bysin ax，即ysin ax，比较系数可得4.在ABC中，已知B(2，0)，C(2，0)，ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为_.答案：1 (y0)解析：ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|6>4.A点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点，且2a6，2c4.a3，c2，b25.A点的轨迹方程为1 (y0).5.将点P(2，3)变换为点P(1，1)的一个伸缩变换公式为_.答案：解析：设伸缩变换为由解得6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x2y0；(2)x2y21.解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可.(1)由伸缩变换得到将其代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线.(2)将代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.综合提高7.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线X24Y21，则曲线C的方程为()A.25x236y21 B.9x2100y21C.10x24y1 D.x2y21答案：A解析：将代入X24Y21，得25x236y21，为所求曲线C的方程.8.已知点A(1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，ACB90，则满足条件的点C的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：若C点在x轴上可设点C(x，0)，由ACB90，得|AB|2|AC|2|BC|2，有(13)2(31)2(x1)232(x3)21，解得x10，x22.C点为(0，0)，(2，0).若点C在y轴上可设点C为(0，y)，由ACB90，得|AB|2|AC|2|BC|2.有(13)2(31)2(01)2(3y)2(03)2(y1)2，解之得y10或y24.故C点的坐标为(0，0)，(0，4).这样的点C有(0，0)，(2，0)，(0，4)共3个点.9.将对数曲线ylog3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为_.答案：ylog3解析：设P(x，y)为对数曲线ylog3x上任意一点，变换后的对应点为P(x，y)，由题意知伸缩变换为代入ylog3x，得ylog3x，即ylog3.10.把圆x2y216沿x轴方向均匀压缩为椭圆x21，则坐标变换公式是_.答案：解析：设变换公式为代入x21中得2x21，即：162x22y216，与x2y216比较得11.已知ABCD，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2).解：法一：(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点E，由对称性知D(ba，c)，所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2，|AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2，|AC|2|BD|24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，|AB|2|AD|22a2b2c22ab，|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2).法二：(向量法)在ABCD中，两边平方得2|2222，同理得2|2222，以上两式相加，得|2|22(|2|2)2()2(|2|2)，即|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2).12.(创新拓展)在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换.解：设变换为代入第二个方程，得2xy4与x2y2比较，将其变成2x4y4，比较系数得1，4.伸缩变换公式为即直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy4.