立体几何中的轨迹问题汇总 .docx

精品名师归纳总结例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点， 这是一类立体几何与解析几何的交汇题， 既考查空间想象才能， 同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。一轨迹为点例 1 已知平面|，直线l，点 Pl ，平面,之间的距离为 8，就在内到P点的距离为10且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A一个圆B. 两条直线C.两个点D.四个点lOMQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:设 Q 为内一动点，点 P 在 内射影为 O，过 O, l 的平面与 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交线为 l ， PQ=10， OQ=102826 点 Q 在以 O 为圆心 6 为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆上 ， 过 Q作 QMl于 M ， 又点 Q到 直线 l 的 距离 为9QM=928217 就点 Q 在以 l 平行距离为 17 的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点这样的点 Q 有四个，故答案选 D。点评:此题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何学问解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 轨迹为线段例 2 如图，正方体ABCDA1B1C1D1 中，点 P 在侧面BCC1B1 及其边界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上运 动， 并 且总 保持 APBD1 ， 就 动点 P 的 轨迹是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.线 段B1CBC1C. BB1中 点 与CC1中 点 连 成的 线 段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D. BC 中点与 B1C1 中点连成的线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：连结AB1, AC, B1C ，易知AB1A1BD1 所以AB1BD1 , ACBD1, B1CBD1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BD1面 AB1C ，假设 PB1C ，就 AP平面AB1C ，于是BD1AP ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此动点 P 的轨迹是线段 B1C 。评注：此题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。例 3已知圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为底面中心， M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内 包括圆周 ，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AMMP， 就 点 P 的轨迹 是。 形 成的 轨迹 的长度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 。2244解析:在平面 SAB 中，过 M 作 AM 的垂线交 AB 于 C，在底面上， 过C 作 AB 的垂线分别交底面圆于 D,E 两点，就 AM面 MDE,DE 即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P 的轨迹，又AO=1,MO=3 ,AM=7 , 从而 AC=7 ,OC=3 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.42DE= 213 27 .所以填上线段。 7三 轨迹为直线例 4北京高考题 如图， AB 是平面 的斜线段， A 为斜足，过点 B作直线 l 与 AB 垂直，就直线 l 与平面 交点的轨迹是BAA圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析: 由题意可知直线 l 的轨迹应是过点 B 且与 AB 垂直的平面，该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面 交点为一条直线，故答案选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四.轨迹为圆弧例5如图，P 是棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1 外表上的动点， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AP=2 ，就动点 P 的轨迹的长度为。解析:由已知 AC=AB 1=AD 1= 2 ,在面 BC1, 面 A 1C1, 面 DC1 内分别有BP=A1P=DP=1，所以动点 P 的轨迹是在面 BC1, 面 A 1C1, 面 DC1 内分别以 B,D,A 1 为圆心， 1 为半径的三段圆弧， 且长度相等， 故轨迹长度。3和为 332五.轨迹为平面例 6.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面个数为.解析：以不共面的四个定点为顶点构造四周体，就满意条件的平面可分两类。 第一类是中截面所在的平面有个。 其次类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有个， 故满意条件的平面个数为 . 故答案选 .评注：此题关键在于构造空间四边形，利用四周体的性质去求解。六. 轨迹为圆例 7，如图，三角形 PAB 所在的平面和四边形 ABCD 所在的平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂直，且AD, BC， AD=4 ， BC=8 ， AB=6 ，APDCPB ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P 在平面 内的轨迹是 PA圆的一部分B. 椭圆的一部分ABDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :由条件易得 AD|BC ，且APDCPB ， AD=4 ， BC=8 ，可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanAPDADCBPAPB= tanCPB , 即 PBCB2 ，在平面 PAB 内以 AB 所在的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAAD直线为 x 轴， AB 的中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAA-3， 0,B3，0，设 Px,y,就有 PBx 3 2y 2x 3 2y 22 ，整理可得一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个圆的方程即 x2y210x90 x0 。由于点 P 不在直线 AB 上，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此轨迹为圆的一部分故答案选 A.点评:此题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象才能，又考查了代数方法坐标法争论几何轨迹的基本思想。七.轨迹为抛物线例 8.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AM= 1 ，点 P 是平面 ABCD 上的动点， 且动点 P 到直线3A1D1 的距离与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，就动点 P 的轨迹是 .A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题， 因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的学问将问题解决。22解：设 PFA1D1 于点 F，过点 P 作PEAD 于点 E，连结 EF，就 AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2平 面 PEF ，ADEF ， 即EF /AA1 。 因 为 PFPM1 ， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222PF1PFEFPE，所以 PEPM 。由抛物线定义知点 P 的轨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结迹是以点 M 为焦点， AD 为准线的抛物线，故应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：从立体转化到平面，从平面到直线，明显是在逐级降维，平面比立体简洁，直线又比平面简洁，这是复杂向简洁的转化。八 .轨迹为椭圆例 9，浙江高考题 如图， AB 是平面 的斜线段， A 为斜足，假设点P 在平面内运动，使得ABP的面积为定值，就动点P 的轨迹是BPA圆B.椭圆AC.一条直线D.两条平行直线解析:由题意可知ABP的面积为定值点 P 到 AB 的距离也为定值， 点 P 在空间中的轨迹应是以 AB 为旋转轴的圆柱面，又点 P 在平面内运动，所以动点 P 的轨迹应当是圆柱面被平面所截出的椭圆。故答案选 B。点评:此题主要考查轨迹问题，留意交轨法的应用。九.轨迹为双曲线例 10.2021 年重庆高考题 到两条相互垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 椭圆B. 抛物线D 1C 1BA 1DCx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAC. 双曲线D. 直线yP解析: 构造正方体模型，在边长为 a 的正方体 ABCDA1 B1C1D1 中， DC与 A 1D1 是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线 DC 且平行于 A 1D1，以 D 为原点，分别以 DA,DC 为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系，设点 Px,y在平面 ABCD 内且到 DC 与 A 1D1 之间的距离相等，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 xy2a2 ，x2y2a2。故答案选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评:此题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用 解析几何法求解， 实现从立体几何到解析几何的过渡， 这里用解析几何的学问解决立体几何中的运算问题，恰好是当今高考的命题方向。 此题考查立体几何，解析几何学问，考查同学的空间想象才能，敏捷 运用学问解决问题的才能和创新意识， 构造正方体模型， 简化了思维难度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十.轨迹为球例 11.如图，在棱长为 6 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，长度为 4 的线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN 的一个端点 N 在 DD1 上运动，另一个端点 M 在底面 ABCD 上运动，就 MN 的中点 P 的轨迹与其顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体的体积是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:由 ND平面 ABCDNDCNDDMP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtNDMM中， P 为斜边 MN 的中点，AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就 DP1 MN2 故点 P 的轨迹是以 D 为球心， 2 为半径的球面，与其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此V2.1434833点评:此题主要考查空间想象才能和推理才能以及球的体积运算，确定点 P 的轨迹是关键。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中，常常显现含有两个变量的 不等式证明问题， 面对两个变量同学会感觉无从下手， 造成找不到解题的突破点。下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。策略一：当两个变量可以别离时，依据其两边结构构造函数，利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用单调性证明不等式。例 12021 年辽宁文科 21已知函数f x a1 lnxax21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论函数f x的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a2 ，证明：对任意x1, x20, ， |f x1f x2 |4 | x1x2 | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： fx的定义域为 0,+， f xa12ax22 axa1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时， fxx x 0，故 fx在0,+单调增加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 1 时， f x 0, 故 f x在0,+单调削减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1a 0 时，令 f x 0,解得 x=a1 .当 x 0,a1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 0。xa1 ，+时，2af x 0, 故 fx在0,2aa1 单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a2a调增加，在a1 ， +单调削减 .2a不妨假设 x1x2.由于 a 2,故 fx在0，+单调削减 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f x1f x2 4 x1x2 等价于f x1f x2 4x1 4x2 ,即 fx2+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x2 fx1+ 4x1.令 gx=fx+4x,就g xa12ax x+4 22ax4 xa1 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 gx 4 x24 x1x2 xx120.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 g x 在0，+单调削减，故 gx1 gx2，即fx1+4x1 fx2+4x2 ， 故 对 任 意 x1,x2 0,+，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1f x24 x1x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 e<x<e2 时， 1ln x<0，例 22021 年辽宁理科 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知函数 fx=1 x 2 ax+a1 ln x ， a1。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1争论函数f x的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2证明：假设 a5 ，就对任意x 1 ， x 20, ， x 1x 2 ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x1f x21。x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1f x 的定义域为 0, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1x2axa1x1x1axxxf ' xxa2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i假设 a11即a2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ' xx12故 f x在0, 单调增加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii 假设 a11,而a1,故1a2 ,就当 x a1,1时，f ' x0 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x0, a1 及x1, 时，f ' x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 f x在 a1,1 单调削减，在 0, a1,1,单调增加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii 假 设 a11 , 即 a2 , 同 理可 得f x在 1,a1 单 调 削减 ， 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,1, a1,单调增加 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II 考虑函数g xf xx1 x22axa1) ln xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就g xxa1a1x2 x a1 x a11a112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 1<a<5,故g x0 ，即 gx在4, +单调增加，从而当 x1x20 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 g x g x 0 ，即 f x f x xx0 ，故f x1 f x2 1 ，当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x1x2 时，有f x1f x2 f x2 f x1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x2x1练习 1 已知函数 fxax 1ln xaR争论函数 fx在定义域内的极值点的个数。假设函数 fx在 x 1 处取得极值， . x 0， ，fx bx 2 恒成立，求实数 b 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0<x<y<e2 且 xey1ln y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，试比较1ax 1x与1的大小ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 f xa xx，当 a0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx<0 在0， 上恒成立，函数 fx在0， 上单调递减，fx在0， 上没有极值点。11当 a>0 时， fx<0 得 0<x<a，fx>0 得 x>a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx在0，1上单调递减，在 1上单调递增，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa， 1即 fx在 xa处有微小值当 a 0 时， fx在0， 上没有极值点。 当 a>0 时， fx在0， 上有一个极值点 函数 fx在 x1 处取得极值， a1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1fxbx2. 1xln xx b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1令 gx1x2ln xx ，ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 gx x2 x2 ，ge2 0，从而可得 gx在0，e2上单调递减，在 e2， 上单调递增，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结gxge2 1 1 ，即 b 1 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mine2e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由知 gx 11ln xx 在0， e2上单调递减，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0<x<y<e2 时， gx>gy，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ln x即x>1 ln yy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0<x<e 时， 1ln x>0，y 1 ln yx>。1 ln xy 1 ln y <.x 1 ln x策略二、当两个变量别离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个变量，再构造函数利用函数单调性进行证明。 例 3、已知函数假设 x=2 是函数 fx的极值点，求曲线 y=fx在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，f1处的切线方程。假设函数 fx在0，+上为单调增函数，求 a 的取值范畴。设 m， n 为正实数，且 mn，求证：I依据 x=2 是函数 fx的极值点，就 f 2=0 可求出 a 的值， 然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程。II 依据 fx的解析式求出 fx的导函数，通分后依据函数fx在 0， +上为单调增函数，得到分子大于0 恒成立，解出 2a2 小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范畴。III 把所证的式子利用对数的运算法就及不等式的基本性质变形，即要证 ln 0，依据II 得到 hx在 x 大于等于 1 时单调递增，且 大于 1，利用函数的单调性可得证解：I f x= =， 由题意知 f2=0，解得 a= ，经检验符合题意从而切线的斜率为 k=f 1= ，切点为 1，0切线方程为 x+8y 1=0II f x=，由于 fx在0，+上为单调增函数， 所以 fx0 在0，+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上恒成立即 x2+2 2ax+10 在0， +上恒成立，当 x0，+时，由 x2+22ax+10，得： 2a2x+ ，设 gx=x+ ， x0， +，就 gx=x+ 2 =2，当且仅当 x= 即 x=1 时， gx有最小值2，所以 2a 22，解得 a2，所以 a 的取值范畴是 ，2 。III 要证，只需证 ，即 ln ，即 ln 0， 设 hx=lnx ，由II 知 hx在 1， +上是单调增函数，又 1， 所以 h h1=0，即 ln 0 成立，得到此题主要考查了同学会利用导函数的正负确定函数的单调区间，把握不等式恒成立时所满意的条件， 会利用基本不等式求函数的最小值， 是一道中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结档题例 42021 年陕西已知函数f xex , xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求 f x 的反函数的图象上图象上点 1,0 处的切线方程 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 证明:曲线 y =f x与曲线 y1 x22x1有唯独公共点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 a<b,比较 fab与 f bf a的大小,并说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】解 : f x的反函数g xln x , 就 y=gx 过点1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的切线斜率 k= g'1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g'x1 xkg'11 . 过点 1,0的切线方程为 :y = x+ 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 证明曲线y=fx与曲线 y如下.1 x 2x21 有唯独公共点 , 过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令hxf x1 x22x1ex1 x 22x1, xR, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h' xexx1, h' x的导数h' ' xex1, 且h 00，h'00，, h'' 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x0时h'' x0yh' x单调递减; 当x0时h' ' x0yh' x单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yh' xh' 00, 所以yh x在R上单调递增，最多有一个零点 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 , 曲 线 y=fx与 曲 线 y0,1.证毕1 x 2x21 只 有 唯 一 公 共 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设f af bf bf aba2f aba2) fb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ba2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba2 eaba2ebba2ba2 eb aea可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ba2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令g xx2x2 ex , x0,就g' x11x2 ex1 x1 ex .可编辑资料 - - - 欢迎下