2019版高考数学一轮复习 周周测训练： 第6章 解三角形与平面向量.doc
周周测6解三角形与平面向量综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若i2j，(3x)i(4y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为()A1,2B2,2C3,2 D2,4答案：B解析：(1,2)，(3x,4y)，代入比较2如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()Ae1e2 B2e1e2C2e1e2 D2e1e2答案：B解析：由题意可取e1(1,0)，e2(1,1)，a(3,1)，设axe1ye2x(1,0)y(1,1)(xy，y)，则解得故a2e1e2.3已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，解得m6，当m6时，a(1,2)，ab(2，4)，所以a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选A.4(2018兰州一模)ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c2a，bsinBasinAasinC，则sinB的值为()A B.C. D.答案：C解析：由正弦定理，得b2a2ac，又c2a，所以b22a2，所以cosB，所以sinB.5(2018吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120，且ab1，则|ab|的最小值为()A. B.C. D1答案：A解析：由题意可知1ab|a|b|cos120，所以2|a|b|，即|a|2|b|24，当且仅当|a|b|时等号成立，|ab|2a22abb2a2b22426，所以|ab|，所以|ab|的最小值为.6(2018广东茂名一模)已知ABC的面积为，且C30，BC2，则AB()A1 B.C2 D2答案：C解析：由题意得，SABCACBCsinCAC2，解得AC2.由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC4122224，所以AB2.故选C.7(2018山西联考)向量a，b满足|ab|2|a|，且(ab)a0，则a，b的夹角的余弦值为()A0 B.C. D.答案：B解析：由(ab)a0，得a2ba，由|ab|2|a|，得a2b22ab12a2，得b29a2，所以cosa，b.故选B.8(2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A答案：A解析：本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理解法一因为sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，所以sinB2sinBcosCsinAcosCsin(AC)，所以sinB2sinBcosCsinAcosCsinB，即cosC(2sinBsinA)0，所以cosC0或2sinBsinA，即C90或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0<C<90，故2ba.故选A.解法二由正弦定理和余弦定理得b2ac，所以2b2a23b2c2，即(a2b2c2)a2b2c2，即(a2b2c2)0，所以a2b2c2或2ba，又ABC为锐角三角形，所以a2b2>c2，故2ba，故选A.9(2018丰台期末)在ABC中，若2，则的值为()A. B.C. D.答案：A解析：设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由2，得ac2bcab，化简可得ac.由正弦定理得.10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosCccosA2bsinA，则A的值为()A. B.C. D.或答案：D解析：由acosCccosA2bsinA结合正弦定理可得sinAcosCsinCcosA2sinBsinA，即sin(AC)2sinBsinA，故sinB2sinBsinA.又sinB0，可得sinA，故A或.选D.11(2018山西康杰中学月考)海上有三个小岛A，B，C，测得BAC135，AB6，AC3，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为()A3 B.C. D3答案：B解析：由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BDt.由余弦定理可得BC262(3)2263cosBAC90，解得BC3.由cosABC，解得t.故选B.12(2018河北石家庄一模)已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是()A1，1 B1，C， D1,1答案：A解析：因为ab0，所以|ab|2a22abb22，所以|ab|.所以|abc|2a2b2c22ab2(ab)c32(ab)c.当c与(ab)同向时，(ab)c最大，|abc|2最小，此时(ab)c|ab|c|cos0，|abc|232(1)2，所以|abc|min1；当c与(ab)反向时，(ab)c最小，|abc|2最大，此时(ab)c|ab|c|cos，|abc|232(1)2，所以|abc|max1.所以|abc|的取值范围为1，1故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2018甘肃定西统考)在ABC中，若，则ABC的形状为_答案：等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理，得，即.sinA>0，sinB>0，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.2A2k2B或2A2k2B(kZ)0<A<，0<B<，k0，则AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形14已知点A(1,2)，B(2,8)，则的坐标为_答案：(2，4)解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以解得所以C(0,4)，D(2,0)，(2，4)15(2018江西八校联考(一)已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足，则|的最小值是_答案：解析：以点A为坐标原点，AB为x轴正半轴，使得C落在第一象限，建立平面直角坐标系，设P(cos，sin)，则由得，Q，故点Q的轨迹是以D为圆心，为半径的圆又|，所以|的最小值是.16(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.答案：解析：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，三角形面积公式，考查运算求解能力ABAC4，BC2，cosABC，ABC为三角形的内角，sinABC，sinCBD，故SCBD22.BDBC2, ABC2BDC.又cosABC，2cos2BDC1，得cos2BDC，又BDC为锐角，cosBDC.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)(2018湖南常德月考)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，0<<<.(1)若|ab|，求证ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解析：(1)证明：|ab|，(ab)22，即a22abb22，a2cos2sin21，b2cos2sin21，ab0，ab.(2)解：ab(coscos，sinsin)(0,1)22得cos().0<<<，0<<.，即，代入得sinsin1，整理得sincos1，即sin1.0<<，<<，.18(本小题满分12分)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的模的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos的值解析：(1)解法一bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)因为1cos1，所以0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，所以向量bc的模的最大值为2.解法二因为|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的模的最大值为2.(2)解法一由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.因为a(bc)，所以a(bc)0，即cos()cos.由，得coscos即2k(kZ)，所以2k或2k，kZ，于是cos0或cos1.解法二若，则a.又由b(cos，sin)，c(1,0)得a(bc)(cos1，sin)cossin.因为a(bc)，所以a(bc)0，即cossin1，所以sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验cos0或cos1即所求19(本小题满分12分)(2018山东枣庄模拟)如图，在平面四边形ABCD中，32.(1)若与的夹角为30，求ABC的面积SABC；(2)若|4，O为AC的中点，G为ABC的重心(三条中线的交点)，且与互为相反向量，求的值解析：(1)32，|cos3032，|，SABC|sin30.(2)以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0)，C(2,0)设D(x，y)，则(x，y)与互为相反向量，(x，y)G为ABC的重心，3(3x，3y)，即B(3x，3y)，(3x2,3y)，(3x2,3y)，9x249y232，即x2y24.(x2，y)(x2，y)x2y240.20(本小题满分12分)(2018湖北部分重点中学适应性训练)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos(AB)2sinAsinB.(1)判断ABC的形状；(2)若a3，c6，CD为角C的平分线，求CD的长解：(1)由cos(AB)2sinAsinB，得cosAcosBsinAsinB2sinAsinB，cosAcosBsinAsinB0，cos(AB)0，C90.故ABC为直角三角形(2)由(1)知C90，又a3，c6，b3，A30，ADC1803045105.由正弦定理得，CDsin30.21(本小题满分12分)(2017新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解析：本题考查解三角形(1)由已知可得tanA，A(0，)，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c6(舍去)，或c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.22(本小题满分12分)(2018安徽师范大学附属中学期中)在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足cos2Acos2B2coscos.(1)求角B的值；(2)若ba，求2ac的取值范围解：(1)由已知cos2Acos2B2coscos，得2sin2B2sin2A2，化简得sinB，B(0，)，故B或.(2)因为ba，所以B.由正弦定理2，得a2sinA，c2sinC，则2ac4sinA2sinC4sinA2sin3sinAcosA2sin.因为ba，所以A<，A<，所以2ac，2)方法点拨：遇到含有角的正弦或只含有边的一次式时，常用正弦定理
