函数模型及其应用 .docx

精品名师归纳总结15函数模型及其应用学问梳理函数模型函数解析式一次函数f x axba， b 为常数， a 0二次函数fx ax2bx ca， b， c 为常数， a 0指数函数fx baxca， b， c 为常数， a>0 且 a 1，b0 对数函数f x blogax ca， b，c 为常数， a>0 且 a 1， b0 幂函数f x axn ba，b， n 为常数， a 0， n02.三种函数模型性质比较在0， 上的单调性 增长速度图象的变化要点整合 ：懂得解决实际应用问题的一般步骤1 审题 ：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步挑选数学模型。2 建模 ：将自然语言转化为数学语言，建立相应的数学模型。将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，(3) 求模 ：求解数学模型，得出数学结论。(4) 复原 ：将数学问题复原为实际问题 以上过程用框图表示如下：1. 几种常见的函数模型yax a>1ylog axa>1y xnn>0增函数增函数增函数越来越快越来越慢相对平稳随着 x 的增大， 图象随着 x 的增大， 图象随 n 值变化而各有不与 y 轴接近平行与 x 轴接近平行同题型一函数模型的挑选例 1.某讨论所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行讨论，依据统计，某的区未成年人， 从 1 岁到 16 岁的年龄 x岁与身高 y米的散点图如图， 那么该关系较相宜的函数模型为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A y ax bByalogbxC y a·bxDyax2 b解析：依据散点图可知，较相宜的函数模型为y a logbx，应选 B. 答案B挑选函数模型的根本思想(1) 依据数据描画出散点图。(2) 将散点依据趋势 “ 连接起来，得到大致走势图象。(3) 依据图象与常见的根本函数的图象进行联想比照，挑选最正确函数模型 但必需留意实际意义与根本图形的平移性相结合变式 1 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需明白年宣扬费x单位： 千元 对年销售量 y单位：t的影响 依据近 8 年的年宣扬费 xi 和年销售量 yii 1，2， 8数据得到下面的散点图那么以下哪个作为年销售量y 关于年宣扬费 x 的函数模型最适合 A y ax bByabxC y a·bxDyax2 bx c解析： 选 B.依据散点图知，挑选 ya bx最适合，应选 B.变式 2某的西红柿上市后， 通过市场调查， 得到西红柿种植本钱 Q单位：元/100kg与上市时间 t单位：天 的数据如下表：时间 t60100180种植本钱 Q11684116依据上表数据， 从以下函数中选取一个函数描述西红柿种植本钱Q 与上市时间 t 的变化关系：Q atb，Q at2btc，Q a·bt，Q a·log bt.利用你选取的函数，求：(1) 西红柿种植本钱最低时的上市天数是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 最低种植本钱是元/100kg.解析： 随着时间的增加，种植本钱先削减后增加，而且当t 60 和 t180 时种植本钱相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植本钱与上市时间的变化关系应当 用二次函数Q at2 bt c ，即Q at 1202 m 描述，将表中数据代入可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a601202m 116，a100 1202 m84， 解得a 0.01， m80，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Q0.01t 1202 80，故当上市天数为 120 时，种植本钱取到最低值 80 元/100kg.答案： 1120280题型二函数模型的应用20例 2. 炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 1 k2x2k>0表示的曲线上， 其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落的点的横坐标(1) 求炮的最大射程。(2) 设在第一象限有一飞行物 忽视其大小 ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 解1在 y kx201k2x2k>0 中，令 y0，得 kx 1 1 k2x2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20由实际意义和题设条件知x>0，k>0.解以上关于x 的方程得 x 20k 20 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10，当且仅当 k 1 时取等号所以炮的最大射程是 10 千米1 k212 k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 a>0，炮弹可以击中目标 . 存在 k>0，使 ka 201 k2 a2 3.2 成立. 关于 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的方程 a2k2 20aka2 640 有正根， 20a2 4a2a2 64 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 >0k1 k220a，得a264解得 a6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k2 a2>0，所以当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中它函数模型求解实际问题的三个步骤(1) 依据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，留意单位名称，并留意相关量之间的关系(2) 依据实际问题的需求， 讨论函数的单调性、 最值等， 从而得出实际问题的变化趋可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结势和最优问题(3) 最终回来问题的结论变式 1某食品的保鲜时间y单位：小时 与贮存温度 x单位： 满意函数关系 yekxbe 2.718为自然对数的底数， k， b 为常数 假设该食品在 0 的保鲜时间是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，那么该食品在 33 的保鲜时间是 A 20 小时B22 小时C 24 小时D26 小时解析：选 C.由条件，得 192eb，所以 b ln 192.又由于 48e22kb e22k ln 192 192e22k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结192e11k 2，所以 e11k48121921 14 212. 设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，那么 t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2e33k ln 192 192e33k 192e11k 3192× 1 24.应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2 某公司研发甲、乙两种新产品，依据市场调查猜测，甲产品的利润与投资金额 x单位：万元 满意： fx aln x bx 3a，b R，a，b 为常数 ，且曲线 yfx与直线 y kx 在点 1， 3处相切。乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点 4， 4(1) 分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式。(2) 该公司已筹集到 40 万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于 10 万元 问怎样安排这 40 万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？参考数据： ln 10 2.303，ln 15 2.708，ln 20 2.996，ln 25 3.219，ln 30 3.401可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1函数 fx 的定义域为 0， 且 f x故有 k3，a xb，由于点 1，3在直线 ykx 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又曲线 y f x与直线 y 3x 在点 1， 3处相切，f 1 ab 3，故有f1 b3 3，a 3，得b 0.那么甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为fx 3ln x 3x>0由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为：gx mx，将点 4， 4代入上式，可得m 2，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为gx 2 xx>02 设甲产品投资 x 万元，那么乙产品投资 40 x万元，且 x 10， 30 ， 那么公司所得利润为 y 3ln x 3 240x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故有 y31，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x40 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 y>，0 解得 10 x<15，令 y<，0 解得 15<x30，所以 x 15 为函数的极大值点，也是函数的最大值，即当投入甲产品研发资金15万元，投入乙产品研发资金25 万元时，公司获得利润最大最大利润为21.124 万元题型三建立函数模型解决实际问题例 3. 围建一个面积为360 m2 的矩形场的， 要求矩形场的的一面利用旧墙需修理 ， 其他三面围墙要新建， 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口， 如以下图旧墙的修理费用为45 元/m，新墙的造价为 180 元/m. 设利用的旧墙长度为 x m，修建此矩形场的围墙的总费用为y 元(1) 将 y 表示为 x 的函数。(2) 试确定 x，使修建此矩形场的围墙的总费用最少，并求出最少总费用 解1如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m，那么 y45x 180x 2180·2a225x 360a360.x由得 xa 360，得 a360.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 y225x2 由于 x>2 ，3602x 360x>2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 225x3602 2225× 360210 800.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 y225x3602x 360 10 440.3602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 225xx时，等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 x24 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440 元(1) 通过阅读、懂得，明确问题讲的是什么，熟识实际背景，为解题找出突破口(2) 将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3) 在构建数学模型时，对数学学问进行检索，从而认定或构建相关的数学模型变式 1某商场已按每件 80 元的本钱购进某商品 1 000 件，依据市场猜测，售价为每件 100 元时可全部售完，售价每提高1 元销量就削减 5 件，假设要获得最大利润，售价应定为每件元解析： 设售价提高 x 元，获得的利润为 y 元，那么依题意得y1 000 5x×20 x 5x2 900x20 000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5x902 60 500. 0<1 0005x1 000， 0x<200，故当 x90 时， ymax 60 500，此时售价为每件 190 元 答案： 190变式 2. 据气象中心观看和猜测：发生于沿海M 的的台风始终向正南方向移动，其移动速度 vkm/h 与时间 t h的函数图象如以下图，过线段OC 上一点 Tt， 0作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧局部的面积即 th 内台风所经过的路程 skm (1) 当 t4 时，求 s 的值。(2) 将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来。(3) 假设 N 城位于 M 的正南方向，且距 M 的 650 km，试判定这场台风是否会侵袭到 N 城，假如会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？假如不会，请说明理由解： 1 由图象可知，直线 OA 的方程是 v 3t，直线 BC 的方程是 v 2t 70.当 t4 时， v12，所以 s14× 12 24. 2×13 22 当 0t10 时， s 2× t× 3t2t 。1当 10<t 20 时， s 2×10×30 t10× 30 30t 150。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 20<t 35 时， s 150 30012×t 20×2t70 30 t2 70t 550.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上可知， s 随 t 变化的规律是3t2，t0 ， 10，2s30t150，t 10，20 ， t2 70t550，t 20， 35.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 当 t0 ， 10 时， smax 3× 102 150<650，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 t10， 20时， smax 30× 20 150450<650，当 t20， 35时，令 t2 70t 550 650，解得 t30 或 40舍去 ，即在台风发生30 h 后将侵袭到 N 城可编辑资料 - - - 欢迎下载