2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第6章 不等式、推理与证明 第3节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案 理 北师大版.doc
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲传真(教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(对应学生用书第97页)基础知识填充1二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域2线性规划相关概念名称意义结束条件由变量x，y组成的一次不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证知识拓展1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0，则有(1)当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方2最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式AxByC>0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)不等式组表示的平面区域是()Cx3y6<0表示直线x3y60左上方的平面区域，xy20表示直线xy20及其右下方的平面区域，故选C.3(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的最大值为()A0B1C2D3D根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由zxy得yxz.作出直线yx，并平移该直线，当直线yxz过点A时，目标函数取得最大值由图知A(3,0)，故zmax303.故选D.4若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是_(1，)点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，2m350，即m1.5在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_. 【导学号：79140199】1不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC211.(对应学生用书第98页)二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(2018北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C2D2(2)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3B2 C1D0(1)B(2)C(1)作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(2,0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2，故选B.(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点，故选C.规律方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式.若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)当不等式中不等号为或时，边界为实线，不等号为或时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点.跟踪训练若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.B根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为，故选B.线性规划中的最值问题角度1求线性目标函数的最值(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A15B9C1D9A不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x并平移，当直线y2xz经过点A(6，3)时，z取最小值，且zmin2(6)315.故选A.角度2求非线性目标函数的最值(2018济南一模)若变量x，y满足约束条件则的最大值为()A1B3 C.D5C在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(1,1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为，故选C.角度3线性规划中的参数问题(2017河南安阳一模)已知z2xy，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是() 【导学号：79140200】A.B C4DB作出不等式组对应的平面区域如图：由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大，由解得即A(1,1)，zmax2113，当直线y2xz经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小，由解得即B(a，a)，zmin2aa3a，z的最大值是最小值的4倍，343a，即a，故选B. 规律方法1.求目标函数最值的解题步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.2.常见的三类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.易错警示：注意转化的等价性及几何意义.跟踪训练(1)(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A3,0B3,2C0,2D0,3(2)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4B9C10D12(3)(2017石家庄质检(一)若x，y满足，且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()A.BC1D2(1)B(2)C(3)D(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yxz过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax202；当直线yxz过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范围是3,2故选B.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C.(3)若z3xy的最大值为2，则此时目标函数为y3x2，直线y3x2与3x2y20和xy1分别交于A(2,4)，B，mxy0经过其中一点，所以m2或m，当m时，经检验不符合题意，故m2，选D.线性规划的实际应用(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元216 000设生产产品A x件，产品B y件，则目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)当直线z2 100x900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元) 规律方法解线性规划应用题的步骤(1)设变量.(2)列约束条件.(3)建目标函数.(4)画可行域.(5)求最优解.(6)作答.跟踪训练某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B16万元C17万元D18万元D设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为324318.
