2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：6.4 数列求和 .docx

6.4数列求和最新考纲考情考向分析1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点题型以解答题的形式为主，难度中等或稍难一般第一问考查求通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合.1等差数列的前n项和公式Snna1d.2等比数列的前n项和公式Sn3一些常见数列的前n项和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1)(4)1222n2.知识拓展数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和(2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式；.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)数列的前n项和为n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数)()题组二教材改编2P61A组T5一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)3P61A组T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)答案解析设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.题组三易错自纠4(2017潍坊调研)设an是公差不为0的等差数列，a12，且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A. B.C. Dn2n答案A解析设等差数列的公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6.即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d.Snna1dn.5(2018日照质检)数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200C400 D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.6数列an的通项公式为anncos ，其前n项和为Sn，则S2 017_.答案1 008解析因为数列anncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.S2 017S2 016a2 01722 017cos 1 008.题型一分组转化法求和典例 (2018合肥质检)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.引申探究本例(2)中，求数列bn的前n项和Tn.解由(1)知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论跟踪训练 等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)题型二错位相减法求和典例 (2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q>0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，得Tn4n1.所以数列a2nb2n1的前n项和为4n1.思维升华 错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解跟踪训练 (2018阜阳调研)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d>1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意得即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.题型三裂项相消法求和命题点1形如an型典例 (2017郑州市第二次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.(1)解由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，两式相减，并化简，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)证明由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn<.命题点2an型典例 已知函数f(x)x的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017_.答案1解析由f(4)2，可得42，解得，则f(x).an，S2 017a1a2a3a2 017(1)()()()()1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，裂项后可以产生连续相互抵消的项(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项跟踪训练 (2018届贵州遵义航天高级中学模拟)已知等差数列an满足(a1a2)(a2a3)(anan1)2n(n1)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，当n1时，a1a24，当n2时，a1a2a2a312，即4a212，a23，a11，da2a12，等差数列an的通项公式an12(n1)2n1，an2n1.(2)由(1)得bn，Snb1b2b3bn.四审结构定方案典例 (12分)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<4.(1)(2)规范解答(1)解当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.当n1时，a1S14，3分当n2时，anSnSn1n.当n1时，上式也成立综上，ann.6分(2)证明，Tn1，2Tn22.7分，得2TnTn2144.11分Tn4.Tn<4.12分1(2018广州调研)数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1答案A解析该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.2(2018长春调研)数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17等于()A9 B8C17 D16答案A解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.3在数列an中，若an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A76 B78C80 D82答案B解析由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，得an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故选B.4(2018深圳调研)已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0 B100 C100 D10 200答案B解析由题意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)5010150103100.故选B.5已知数列an满足a11，a22，an2ansin2，则该数列的前12项和为()A211 B212C126 D147答案D解析由题意可得a11，a22，a3a112，a42a204，a5a313，a62a48.即其奇数项构成首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前2n项的和S2n2n12，令n6，可得S12147.6(2018届南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008，2 009，1，2 008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018_.答案4 017解析由题意可知an1anan2，a12 008，a22 009，a31，a42 008，a52 009，a61，a72 008，所以an6an，即数列an是以6为周期的数列，又a1a2a3a4a5a60，S2 018336(a1a2a3a4a5a6)(a1a2)4 017.7(2017全国)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.答案解析 设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2.22.8(2018商丘质检)有穷数列1,12,124，1242n1所有项的和为_答案2n12n解析由题意知所求数列的通项为2n1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为n2n12n.9(2018届湖南永州模拟)若Sn(nN*)，则S2 017_.答案解析令an，故S2 0171.10(2017安阳二模)已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)且b1a2，则|b1|b2|b3|bn|_.答案4n1解析由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列，|b1|b2|bn|4n1.11(2018届广东佛山三水区实验中学模拟)已知等差数列an的公差d为2，Sn是它的前n项和，a1，a4，a13成等比数列(1)求an和Sn；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解(1)因为a4a13da16，a13a112da124，而a1，a4，a13成等比数列，所以aa1a13，即(a16)2a1(a124)，解得a13，所以an3(n1)22n1，Snn22n.(2)由(1)知所以Tn.12(2017天津河西区二模)数列an的前n项和为Sn，且Snn(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式；(3)令cn(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.解(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n，可知a12满足该式，数列an的通项公式为an2n(nN*)(2)an(n1)，an1，得an1an2，bn12(3n11)，而b18，故bn2(3n1)(nN*)(3)cnn(3n1)n3nn，Tnc1c2c3cn(13232333n3n)(12n)令Hn13232333n3n，则3Hn132233334n3n1，得2Hn332333nn3n1n3n1，Hn，数列cn的前n项和Tn.13(2018届广东珠海一中等六校联考)数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1ana1n，则等于()A. B.C. D.答案D解析由题意可得an1ann1，则a11，a2a12，a3a23，anan1n，以上各式相加可得an，则2，2.14设f(x)，若Sfff，则S_.答案1 008解析f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sfff，Sfff，得2S2 016，S1 008.15(2017贵州一中、凯里一中联考)已知函数f(x)，an为等比数列，an>0且a1 0091，则f(ln a1)f(ln a2)f(ln a2 017)等于()A2 007 B.C1 D.答案D解析f(x)，f(x)f(x)1，数列an是等比数列，a1a2 017a2a2 016a1 008a1 010a1，设S2 017f(ln a1)f(ln a2)f(ln a2 017)，则S2 017f(ln a2 017)f(ln a2 016)f(ln a1)，得2S2 0172 017，S2 017，故选D.16(2018南昌调研)已知正项数列an的前n项和为Sn，nN*,2Snaan.令bn，设bn的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，T100中有理数的个数为_答案9解析2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aan1aan，aaan1an0，(an1an)(an1an1)0.又an为正项数列，an1an10，即an1an1.在2Snaan中，令n1，可得a11.数列an是以1为首项，1为公差的等差数列ann，bn，Tn11，要使Tn为有理数，只需为有理数，令n1t2，1n100，n3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数T1，T2，T3，T100中有理数的个数为9.