2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习配套练习：第九章　平面解析几何 第6讲　抛物线 .doc

第6讲抛物线一、选择题1(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k>0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1 C. D2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PFx轴知，|PF|2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y(k>0)得k2，故选D.答案D2点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析分两类a>0，a<0可得yx2，yx2.答案D3(2017宜春诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A9 B8C7 D6解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.故选B.答案B4已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|等于()A. B.C3 D2解析4，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3，故选C.答案C5(2017衡水金卷)已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值为()A12 B24C16 D32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x4，由得y14，y24，yy32.当直线的斜率存在时，设其方程为yk(x4)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y23232，综上可知，yy32.yy的最小值为32.故选D.答案D二、填空题6(2016兰州诊断)抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于_解析由图可知弦长|AB|2，三角形的高为3，面积为S233.答案37(2017安徽四校三联)过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1，联立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.答案88如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x22py(p0)由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案2三、解答题9(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2,0)即抛物线的焦点为(2,0)，2，p4.抛物线C的方程为y28x.(2)证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)则则kPQ，又P，Q关于l对称kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中点一定在l上，22p.线段PQ的中点坐标为(2p，p)解PQ的中点为(2p，p)，即即关于y的方程y22py4p24p0，有两个不等实根0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范围为.10已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切11(2017汉中模拟)已知抛物线y22px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，则x1x2；若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.又y2px1，y2px2，yy4p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2.故4.答案A12(2016四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D1解析如图，由题可知F，设P点坐标为(y00)，则()，kOM，当且仅当y2p2等号成立故选C.答案C13(2016湖北七校联考)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_解析如图，过A作AHl，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn1，连接AF，则|AF|AH|mn1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即，即mn的最小值为1.答案114(2017南昌模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值解(1)由题意知F1(1,0)，F2，F1F2OP，(1，1)10，p2，抛物线C2的方程为x24y.(2)设过点O的直线为ykx(k0)，联立得M，联立得N(4k,4k2)，从而|MN|，又点P到直线MN的距离d，进而SPMN22，令tk(t2)，则有SPMN2(t2)(t1)，当t2时，此时k1，SPMN取得最小值即当过点O的直线为yx时，PMN面积的最小值为8.