2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第六章　数列 第1讲　数列的概念及简单表示法.1 .doc

6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1>an其中nN递减数列an1<an常数列an1an3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式知识拓展1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，若an最大，则若an最小，则3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(4)1,1,1,1，不能构成一个数列()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(6)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN，都有an1Sn1Sn.()题组二教材改编2在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A.B.C.D.答案D解析a212，a31，a413，a51.3根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.答案5n4题组三易错自纠4已知数列an是递减数列，且对任意的正整数n，ann2n恒成立，则实数的取值范围为_答案(，3)解析an是递减数列，an1<an.ann2n恒成立，(n1)2(n1)<n2n，即<2n1对于nN恒成立而2n1在n1时取得最小值3，<3.5数列an中，ann211n(nN)，则此数列最大项的值是_答案30解析ann211n2，nN，当n5或n6时，an取最大值30.6已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式1数列0，的一个通项公式为()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可2数列，的一个通项公式an_.答案(1)n解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN处理(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法题型二由an与Sn的关系求通项公式典例 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1(nN)，则其通项公式为_答案an解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)(2017南昌模拟)若数列an的前n项和Snan(nN)，则an的通项公式an_.答案(2)n1解析由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.思维升华已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，anSnSn1.(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式跟踪训练 (1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.答案2n1解析由题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，所以an2n1.(2)(2017河北衡水中学押题卷)已知数列an是首项为1，公差为2的等差数列，数列bn满足关系，数列bn的前n项和为Sn，则S5的值为()A454 B450C446 D442答案B解析由题意可得ana1(n1)d2n1(nN)，且，当n2时，两式作差可得，则bn由此可得S5450.题型三由数列的递推关系求通项公式典例根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a12，an1anln；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解(1)an1anln，anan1lnln (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnln ln 222ln2ln n(n2)又a12适合上式，故an2ln n(nN)(2)an12nan，2n1 (n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11适合上式，故an2(nN)(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，故an23n11(nN)引申探究在本例(2)中，若anan1(n2，且nN)，其他条件不变，则an_.答案解析anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1m时，构造等差数列(2)当出现anxan1y时，构造等比数列(3)当出现anan1f(n)时，用累加法求解(4)当出现f(n)时，用累乘法求解跟踪训练 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN)，则数列an的通项公式an_.答案32n12解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，当n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足)(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.答案4解析原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得ana11，故an4.题型四数列的性质命题点1数列的单调性典例已知an，那么数列an是()A递减数列B递增数列C常数列D不确定答案B解析an1，将an看作关于n的函数，nN，易知an是递增数列命题点2数列的周期性典例数列an满足an1，a82，则a1_.答案解析an1，an1111(1an2)an2，n3，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.命题点3数列的最值典例数列an的通项an，则数列an中的最大项是()A3B19C.D.答案C解析令f(x)x(x>0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN，不难发现当n9或n10时，an最大思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图像直观判断(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解跟踪训练 (1)数列an满足an1a1，则数列的第2 018项为_答案解析由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 018a50442a2.(2)(2017安徽名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为Sn，则S2 016等于()A504 B588C588 D504答案C解析a12，an1，a2，a3，a43，a52，数列an的周期为4，且a1a2a3a4，2 0164504，S2 016504588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列an的通项公式是an(n1)n，则此数列的最大项是第_项(2)若ann2kn4且对于nN，都有an1>an成立，则实数k的取值范围是_思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析解析(1)an1an(n2)n1(n1)nn，当n<9时，an1an>0，即an1>an；当n9时，an1an0，即an1an；当n>9时，an1an<0，即an1<an，该数列中有最大项，且最大项为第9,10项(2)由an1>an知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4>n2kn4，即k>12n，又nN，k>3.答案(1)9或10(2)(3，)1(2017湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11BanCan2sin Dancos(n1)1答案C解析对n1,2,3,4进行验证，知an2sin 不合题意，故选C.2现有这么一列数：2，()，按照规律，()中的数应为()A. B. C. D.答案B解析分母为2n，nN，分子为连续的质数，所以()中的数应为，故选B.3(2017黄冈质检)已知在正项数列an中，a11，a22,2aaa(n2)，则a6等于()A16 B4 C2 D45答案B解析由题意得aaaaaa3，故a是以3为公差的等差数列，即a3n2.所以a36216.又an>0，所以a64.故选B.4若数列an满足a12，a23，an(n3且nN)，则a2 018等于()A3 B2 C. D.答案A解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，且T6，a2 018a33662a23.5(2017辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列an满足a1，是首项为1，公比为2的等比数列，则a101等于()A2100 B24 950 C25 050 D25 151答案C解析数列an满足a1，是首项为1，公比为2的等比数列，2n1，ana1121222n1，a10125 050.故选C.6(2017河北保定模拟)已知函数f(x)若数列an满足anf(n)(nN)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2 C(2,3) D.答案C解析因为an是递增数列，所以解得即2<a<3，故选C.7若数列an满足关系an11，a8，则a5_.答案解析借助递推关系，由a8递推依次得到a7，a6，a5.8已知数列an的前n项和Snn22n1(nN)，则an_.答案解析当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S14211，因此an9(2018大庆模拟)已知数列an的通项公式an(n2)n，则数列an的项取最大值时，n_.答案4或5解析假设第n项为最大项，则即解得即4n5，又nN，所以n4或n5，故数列an中a4与a5均为最大项，且a4a5.10(2017太原模拟)已知数列an满足a11，anan1nanan1(nN)，则an_.答案解析由anan1nanan1，得n，则由累加法得12(n1)，又因为a11，所以1，所以an(nN)11已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解(1)由Snaan (nN)可得a1aa1，解得a11，S2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2)Sna，当n2时，Sn1a，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故ann.12已知数列an中，an1(nN，aR且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN，都有ana6成立，求a的取值范围解(1)an1(nN，aR且a0)，又a7，an1(nN)结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.即a的取值范围是(10，8)13(2018届广东珠海摸底)整数列an满足an1an1<3n，an2an>3n1，nN，a23，则a2 018等于()A.B.C.D.答案C解析由an1an1<3n，可得an2an<3n1，又an2an>3n1，且an为整数列，所以an2an3n1，a2 018(a2 018a2 016)(a2 016a2 014)(a4a2)a232 01732 015333.14若数列中的最大项是第k项，则k_.答案4解析设数列为an，则an1an(n1)(n5)n1n(n4)nn(10n2)所以当n3时，an1>an；当n4时，an1<an.因此，a1<a2<a3<a4，a4>a5>a6>，故a4最大，所以k4.15(2017湖北武汉调研)已知数列an满足a11，a2，若an(an12an1)3an1an1(n2，nN)，则数列an的通项an等于()A. B. C. D.答案B解析anan12anan13an1an1，2，则2，数列是首项为2，公比为2的等比数列，22n12n，利用累加法，12222n1，2n1，则an.故选B.16(2017太原五中模拟)设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.答案(nN)解析因为数列an是首项为1的正项数列，所以anan10，所以10.令t(t>0)，则(n1)t2tn0，分解因式，得(n1)tn(t1)0，所以t或t1(舍去)，即.方法一(累乘法)因为，所以an(nN)方法二(迭代法)因为an1an，所以anan1an2an3a1，所以an(nN)方法三(特殊数列法)因为，所以1.所以数列nan是以a1为首项，1为公比的等比数列所以nan11n11.所以an(nN)