2019届高考数学大一轮复习讲义：第七章 不等式 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式.1 .doc
7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)(2)作商法 (aR，b>0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n1)a，b同为正数可开方性a>b>0>(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质a>b，ab>0<.a<0<b<.a>b>0,0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则<；>(bm>0)>；<(bm>0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，ab，a<b三种关系中的一种()(2)若>1，则a>b.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)a>b>0，c>d>0>.()(5)若ab>0，则a>b<.()题组二教材改编2若a，b都是实数，则“>0”是“a2b2>0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析>0>a>ba2>b2，但由a2b2>0>0.3若0<a<b，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a<2ab<<a2b2<b解析0<a<b且ab1，a<<b<1，2b>1且2a<1，a<2ba2a(1a)2a22a22<.即a<2ab<，又a2b2(ab)22ab12ab>1，即a2b2>，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b1>0，b1<0，a2b2b<0，a2b2<b，综上，a<2ab<<a2b2<b.题组三易错自纠4若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.>0 B.<0C.>D.<答案D解析c<d<0，0<d<c，又0<b<a，bd<ac，即bd>ac，又cd>0，>，即>.5设a，bR，则“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得ab>213，由不等式的同向同正可乘性可得ab>212.即“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分条件；反之，若“ab>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a6，b.所以“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分不必要条件故选A.6若<<<，则的取值范围是_答案(，0)解析由<<，<<，<，得<<0.题型一比较两个数(式)的大小1若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()AP>QBPQCP<QD由a的取值确定答案C解析P2Q22a522a522()，且a25a<a25a6，P2<Q2，又P，Q>0，P<Q，故选C.2(2017武汉调研)已知x，yR，且x>y>0，若a>b>1，则一定有()A.>Bsin ax>sin byClogax>logbyDax>by答案D解析对于A，当a3，b2，x3，y2时不成立，排除A；对于B，当a30，b20，x，y时，不成立，排除B；对于C，当a3，b2，x3，y2时，不成立，排除C，故选D.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系题型二不等式的性质典例 (1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()Aab>acBc(ba)<0Ccb2<ab2Dac(ac)>0答案A解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有正确结论的序号是()ABCD答案D解析由不等式性质及a>b>1，知<，又c<0，>，正确；构造函数yxc，c<0，yxc在(0，)上是减少的，又a>b>1，ac<bc，正确；a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，正确思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件跟踪训练若<<0，给出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正确的不等式是()ABCD答案C解析方法一因为<<0，故可取a1，b2.显然|a|b121<0，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以错误综上所述，可排除A，B，D.方法二由<<0，可知b<a<0.中，因为ab<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即正确；中，因为b<a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故错误；中，因为b<a<0，又<<0，则>>0，所以a>b，故正确；中，因为b<a<0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故错误由以上分析，知正确题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立典例若a<0<b，则下列不等式正确的是()A.>B.<Ca2<b2D|a|>|b|答案B解析因为a<0<b，所以<0<，因此A错，B对；取a2，b1，可得a2>b2，故C错；取a，b1，可得|a|<|b|，故D错，故选B.命题点2求代数式的取值范围典例已知1<x<4,2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4<2y<6，1<3x2y<18.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径跟踪训练 (1)(2017贵州遵义月考)已知a>b>0，c<0，则下列不等关系中正确的是()Aac>bcBac>bcCloga(ac)>logb(bc)D.>答案D解析选项A中，不等式a>b>0两边同乘以负数c，不等式方向应该改变，故A错误；选项B中，考查幂函数yxc，因为c<0，所以函数在(0，)上是减函数，故B错误；选项C中，假设a4，b2，c4，则loga(ac)log48<2，logb(bc)log26>2，此时loga(ac)<logb(bc)，故C错误；选项D中，作差>0，所以>正确，故选D.(2)(2018届东北四市一模)已知角，满足<<，0<<，则3的取值范围是_答案(，2)解析结合题意可知，32()()，且2()(，)，()(0，)，利用不等式的性质可知，3的取值范围是(，2)利用不等式变形求范围典例设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_错解展示由得得a3，得b1.由此得4f(2)4a2b11.所以f(2)的取值范围是4,11错误答案4,11现场纠错解析方法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大1(2018济宁模拟)若a<0，ay>0，且xy>0，则x与y之间的不等关系是()Axy Bx>y Cx<y Dxy答案B解析由a<0，ay>0，可知y<0，又由xy>0，可知x>0，所以x>y.2若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()Af(x)g(x) Bf(x)>g(x)Cf(x)<g(x) D随x值的变化而变化答案B解析f(x)g(x)x22x2(x1)21>0，则f(x)>g(x)3若a，bR，且a|b|<0，则下列不等式中正确的是()Aab>0 Ba3b3>0Ca2b2<0 Dab<0答案D解析由a|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b0时，ab<0成立，当b<0时，ab<0成立，ab<0成立故选D.4(2018西安市西北工业大学附属中学模拟)如果a>b>1，c<0，在不等式>；ln(ac)>ln(bc)；(ac)c<(bc)c；bea>aeb中，所有正确命题的序号是()A B C D答案B解析用排除法，a>b>1，c<0，可令a3，b2，c4，此时ln(ac)>ln(bc)，不成立，错误，排除A，C，D，故选B.5(2018湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考)已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若a>b，则ac2>bc2B若>，则a>bC若a3>b3，且ab<0，则>D若a2>b2，且ab>0，则<答案C解析当c0时，ac2bc2，选项A是假命题；若c<0，则由>，可得a<b，选项B是假命题；若a3>b3且ab<0，则>正确；若a2>b2且ab>0，当时，D不成立6设，那么2的取值范围是()A.B.C(0，) D.答案D解析由题设得0<2<，0，0，<2<.7有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz答案B解析令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.8(2018济南调研)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()Aa>bB.>Ca>bD.>答案A解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上是减少的，在1，)上是增加的，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a>ba>b，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.9已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_答案a1b1a2b2a1b2a2b1解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，因为a1a2，b1b2，所以a1a20，b1b20，于是(a1a2)(b1b2)0，故a1b1a2b2a1b2a2b1.10已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab>0，bcad>0，则>0；若ab>0，>0，则bcad>0；若bcad>0，>0，则ab>0.其中正确的命题是_(填序号)答案解析ab>0，bcad>0，>0，正确；ab>0，又>0，即>0，bcad>0，正确；bcad>0，又>0，即>0，ab>0，正确故都正确11(2018青岛调研)设a>b>c>0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“>”连接)答案z>y>x解析方法一y2x22c(ab)>0，y>x.同理，z>y，z>y>x.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故z>y>x.12已知1<xy<4,2<xy<3，则3x2y的取值范围是_答案解析设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1<xy<4,2<xy<3，<(xy)<10,1<(xy)<，<(xy)(xy)<，即<3x2y<，3x2y的取值范围为.13设实数x，y满足0<xy<4，且0<2x2y<4xy，则x，y的取值范围是()Ax>2且y>2Bx<2且y<2C0<x<2且0<y<2Dx>2且0<y<2答案C解析由题意得则由2x2y4xy(x2)(2y)<0，得或又xy<4，可得14若x>y，a>b，则在ax>by；ax>by；ax>by；xb>ya；>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_答案解析令x2，y3，a3，b2.符合题设条件x>y，a>b.ax3(2)5，by2(3)5.axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此不成立1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立15(2018江门模拟)设a，bR，定义运算“”和“?”如下：aba?b若mn2，p?q2，则()Amn4且pq4 Bmn4且pq4Cmn4且pq4 Dmn4且pq4答案A解析结合定义及mn2可得或即nm2或m>n2，所以mn4；结合定义及p?q2，可得或即q<p2或pq2，所以pq4.16(2017合肥质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)答案B解析由已知及三角形三边关系得两式相加，得0<2<4，的取值范围为(0,2)
